Math173

已知 $n$ 是一个不小于 $2$ 的正整数，$c$ 是实数，且对任意 $x_i\geqslant 0$（$i=1,2,\cdots,n$）均有\[\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\left(x_i^2+x_j^2\right)\leqslant c\cdot \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^4.\]
（1）求实数 $c$ 的最小值；
（2）当 $c$ 取最小值时，指出等号成立的充要条件．

继续阅读 →

已知 $f(x)=\sin \omega x-\cos \omega x$，其中 $\omega >\dfrac 14$，$x\in\mathbb R$，若 $f(x)$ 的任何一条对称轴与 $x$ 轴交点的横坐标都不属于区间 $(2\pi ,3\pi)$，则 $\omega$ 的取值范围是（        ）
A．$\left[\dfrac 38,\dfrac{11}{12}\right]\cup\left[\dfrac{11}8,\dfrac{19}{12}\right]$
B．$\left(\dfrac 14,\dfrac{5}{12}\right]\cup\left[\dfrac{5}8,\dfrac{3}{4}\right]$
C．$\left[\dfrac 38,\dfrac{7}{12}\right]\cup\left[\dfrac{7}8,\dfrac{11}{12}\right]$
D．$\left(\dfrac 14,\dfrac{3}{4}\right]\cup\left[\dfrac{9}8,\dfrac{17}{12}\right]$

继续阅读 →

已知函数 $f(x)=\ln x+({\rm e}-a)x-2b$，若不等式 $f(x)\leqslant 0$ 对 $x\in (0,+\infty)$ 恒成立，则 $\dfrac ba$ 的最小值等于________．

继续阅读 →

在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 满足 $\dfrac 1{\cos A}+\dfrac{1}{\cos B}=\dfrac{2}{\cos C} $，则 $ \cos C$ 的最大值是________．

继续阅读 →

已知函数 $f(x)=-\dfrac{2x}{1+|x|},x\in\mathbb R$，区间 $M=[a,b]$，集合 $N=\{y\mid y=f(x),x\in M\}$．若 $M=N$，则 $b-a$ 的值是________．

继续阅读 →

已知实数 $a,b$ 满足 $a^2-ab-2b^2=1$，则 $a^2+b^2$ 的取值范围为_______．

继续阅读 →

设 $x,y,z$ 为非负实数，满足 $x+y+z=1$，则 $\dfrac1{2+x^2}+\dfrac1{2+y^2}+\dfrac1{2+z^2}$ 的取值范围是______．

继续阅读 →

在面积为 $2$ 的平行四边形 $ABCD$ 中，点 $P$ 为直线 $AD$ 上的动点，则 $\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+BC^2$ 的最小值是______．

继续阅读 →

已知曲线 $E:\dfrac1x+\dfrac{2\sqrt2}y=1$（$x,y>0$），则曲线 $E$ 上的点到原点距离的最小值为_______．

继续阅读 →

已知单位向量 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}3$，设向量 $\overrightarrow c=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$，其中 $x,y\in\mathbb R$，若 $\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=1$，则 $x+2y$ 的取值范围为________．

继续阅读 →