每日一题[1146]双管齐下

已知曲线 $E:\dfrac1x+\dfrac{2\sqrt2}y=1$($x,y>0$),则曲线 $E$ 上的点到原点距离的最小值为_______.


cover正确答案是$3\sqrt3$.

法一 由权方和不等式可得\[\begin{split}\dfrac 1x+\dfrac {2\sqrt 2}y=&\dfrac{1^{\frac 32}}{\left(x^2\right)^{\frac 12}}+\dfrac{2^{\frac 32}}{\left(y^2\right)^{\frac 12}}\\\geqslant &\dfrac{(1+2)^{\frac 32}}{\sqrt{x^2+y^2}},\end{split}\]于是\[\sqrt{x^2+y^2}\geqslant 3\sqrt 3,\]等号当 $2x^2=y^2$,即 $(x,y)=\left(3,3\sqrt 2\right)$ 时取得.因此所求的最小值为 $3\sqrt 3$.

法二 根据题意,有\[y=\dfrac{2\sqrt2x}{x-1},\]则曲线上点 $(x,y)$ 到原点距离 $m$ 的平方\[\begin{split}m^2=&x^2+y^2\\=&x^2+\left(\dfrac{2\sqrt2x}{x-1}\right)^2\\=&\dfrac{x^4-2x^3+9x^2}{(x-1)^2},\end{split}\]记等式右边的函数为 $f(x)$,其中 $x>1$.函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{2x(x-3)(x^2+3)}{(x-1)^3},\]所以 $f(x)$ 在 $x=3$ 处取得极小值,亦为最小值\[f(3)=27,\]因此所求距离最小值为 $3\sqrt 3$.

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