2026年9月浙江杭州二中开学考数学试题#11
已知曲线 $C: x^2+y^2=\sqrt{x^2+y^2}+x$，下列结论正确的是（ ）
A．曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称
B．曲线 $C$ 构成的封闭图形面积小于圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 的面积
C．曲线 $C$ 上任一点到坐标原点 $O$ 的距离都不超过 $ 2$
D．曲线 $C$ 的内部（不含边界）有 $4$ 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
答案 AC．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，记 $f(x,y)=x^2+y^2-\sqrt{x^2+y^2}-x$，曲线 $C:f(x,y)=0$，则由于 $f(x,y)=f(x,-y)$，于是曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，考虑当 $x\geqslant 0$ 时，设 $x^2+y_1^2=\sqrt{x^2+y_1^2}+x$，$(x-1)^2+y_2^2=1$，则\[x^2+y_1^2=\sqrt{x^2+y_1^2}+x\geqslant 2x=x^2+y_2^2,\]于是圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 在曲线 $C$ 的内部（包括边界），进而曲线 $C$ 构成的封闭图象的面积 $^{[1]}$ 大于圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 的面积，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，曲线 $C$ 也即 $r=1+\cos\theta$，从而 $r\leqslant 2$，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，曲线 $C$ 的内部（不含边界）的整点只有 $(1,1),(1,0),(1,-1)$，选项错误；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$．
备注
$[1]$ 曲线 $C$ 的面积为\[\frac 12\int_0^{2\pi}\left(1+\cos\theta\right)^2{ {\rm d}} \theta=\frac{3\pi}2.\]