每日一题[1145]披着向量的外衣

已知单位向量 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}3$,设向量 $\overrightarrow c=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$,其中 $x,y\in\mathbb R$,若 $\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=1$,则 $x+2y$ 的取值范围为________.


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正确答案是$[1,5]$.

分析与解 根据题意,有\[\left|(x-1)\overrightarrow a+(y-1)\overrightarrow b\right|=1,\]因此\[(x-1)^2+(x-1)(y-1)+(y-1)^2=1.\]记 $(m,n)=(x-1,y-1)$,则\[x+2y=m+2n+3,\]其中\[m^2+mn+n^2=1.\]令 $t=m+2n$,则 $m=t-2n$,因此\[3n^2-3tn+t^2-1=0,\]其判别式\[\Delta=-3(t+2)(t-2)\geqslant 0,\]解得 $t$ 的取值范围是 $[-2,2]$,因此所求代数式的取值范围是 $[1,5]$.

 已知 $m^2+mn+n^2=1$,求 $m+2n$ 的取值范围也可以通过三角换元解决:
因为\[\left(m+\dfrac n2\right)^2+\dfrac 34n^2=1,\]所以令\[m+\dfrac n2=\cos\theta,n=\dfrac 2{\sqrt 3}\sin\theta,\]从而有\[m+2n=\cos\theta+\sqrt 3\sin\theta=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}6\right)\in[-2,2].\]

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