每日一题[1151]三角恒等式的化简

在锐角 $\triangle ABC$ 中,角 $A,B,C$ 满足 $\dfrac 1{\cos A}+\dfrac{1}{\cos B}=\dfrac{2}{\cos C} $,则 $ \cos C$ 的最大值是________.


正确答案是$\dfrac 12$.

分析与解    法一    不妨设 $A\leqslant B$,于是根据题意,可设\[(A,B)=\left(\dfrac{\pi -C-x}2,\dfrac{\pi -C+x}2\right),\]其中 $0\leqslant x<C$.此时条件转化为存在 $x,C$ 满足 $0\leqslant x<C<\dfrac{\pi}2$,有\[\dfrac{1}{\sin\dfrac{C+x}2}+\dfrac{1}{\sin\dfrac{C-x}2}=\dfrac{2}{\cos C}.\]该方程即\[\cos^2\dfrac x2-\sin\dfrac C2\cos C\cdot \cos\dfrac x2-\cos^2\dfrac C2=0.\]根据题意,关于 $t$ 的方程\[t^2-\sin\dfrac C2\cos C\cdot t-\cos^2\dfrac C2=0\]在 $\left(\cos\dfrac C2,1\right]$ 上有实数解,因此只需要\[\left(t^2-\sin\dfrac C2\cos C\cdot t-\cos^2\dfrac C2\right)\Big|_{t=1}\geqslant 0,\]也即\[\sin\dfrac C2-\cos C\geqslant 0,\]因此可得 $C$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right)$,进而所求的最大值为 $\dfrac 12$.
    直接积化和差也可以.
法二    由均值不等式可得\[\begin{split} \dfrac{2}{\cos C}&\geqslant \dfrac{4}{\cos A+\cos B}\\&=\dfrac{4}{2\cos\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2}\\&\geqslant \dfrac{2}{\sin\dfrac C2},\end{split}\]于是\[\sin\dfrac C2\geqslant \cos C,\]进而 $C\geqslant \dfrac{\pi}3$,因此 $\cos C$ 的最大值为 $\dfrac 12$,当 $A=B=C=\dfrac{\pi}3$ 时取得.

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