每日一题[1153]正弦型函数的图象

已知 $f(x)=\sin \omega x-\cos \omega x$,其中 $\omega >\dfrac 14$,$x\in\mathbb R$,若 $f(x)$ 的任何一条对称轴与 $x$ 轴交点的横坐标都不属于区间 $(2\pi ,3\pi)$,则 $\omega$ 的取值范围是(        )
A.$\left[\dfrac 38,\dfrac{11}{12}\right]\cup\left[\dfrac{11}8,\dfrac{19}{12}\right]$
B.$\left(\dfrac 14,\dfrac{5}{12}\right]\cup\left[\dfrac{5}8,\dfrac{3}{4}\right]$
C.$\left[\dfrac 38,\dfrac{7}{12}\right]\cup\left[\dfrac{7}8,\dfrac{11}{12}\right]$
D.$\left(\dfrac 14,\dfrac{3}{4}\right]\cup\left[\dfrac{9}8,\dfrac{17}{12}\right]$


cover

正确答案是C.

分析与解    根据题意,有\[f(x)=\sqrt 2\sin \left(\omega x-\dfrac{\pi}4\right),\]接下来考虑问题的反面,也即\[\exists k\in\mathbb Z,2\omega\pi-\dfrac{\pi}4<k\pi+\dfrac{\pi}2<3\omega\pi-\dfrac{\pi}4,\]也即\[\exists k\in \mathbb Z,\dfrac 13k +\dfrac 14<\omega <\dfrac 12k+\dfrac 38.\]如图.

因此所求 $\omega$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 38,\dfrac{7}{12}\right]\cup\left[\dfrac{7}8,\dfrac{11}{12}\right]$.

其它解法    可以结合图象,从图象伸缩角度得到取值范围.示意图如下:

    也可以不考虑问题的反面,$f(x)$ 的对称轴\[x=\dfrac{k+\frac 34}{\omega}\pi\notin(2\pi,3\pi),\]即\[\forall k\in\mathbb{Z},\left(\omega\geqslant \dfrac k2+\dfrac 38\right) \lor\left(\omega\leqslant\dfrac k3+\dfrac 14\right),\]记\[A_k=\left\{\omega\mid\omega\leqslant\dfrac k3+\dfrac 14 \lor \omega\geqslant \dfrac k2+\dfrac 38\right\},\]因为 $\dfrac{2\pi}{\omega}\geqslant 2\pi$,所以\[\omega\in\left(\dfrac 14,1\right].\]从而只需要考虑 $k=0,1,2$ 即可,得到 $\omega$ 的取值范围是\[A_0\cap A_1\cap A_2=\left[\dfrac 38,\dfrac 7{12}\right]\cup\left[\dfrac 78,\dfrac{11}{12}\right].\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论