每日一题[1147]向量中的动点

在面积为 $2$ 的平行四边形 $ABCD$ 中,点 $P$ 为直线 $AD$ 上的动点,则 $\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+BC^2$ 的最小值是______.


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正确答案是$2\sqrt3$.

分析与解 如图,设 $M$ 为 $BC$ 的中点.

根据题意,有\[\begin{split} \overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+BC^2&=PM^2-\dfrac 14BC^2+BC^2\\&=PM^2+\dfrac 34BC^2\\&\geqslant \sqrt 3\cdot PM\cdot BC\\&\geqslant \sqrt 3\cdot 2S_{\triangle PBC}\\&=2\sqrt 3,\end{split}\]等号当 $PM=\dfrac{\sqrt 3}2BC$ 且 $PM\perp BC$ 时取得.因此所求的最小值为 $2\sqrt 3$.

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