每日一题[1150]函数的性质

已知函数 $f(x)=-\dfrac{2x}{1+|x|},x\in\mathbb R$,区间 $M=[a,b]$,集合 $N=\{y\mid y=f(x),x\in M\}$.若 $M=N$,则 $b-a$ 的值是________.


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正确答案是$2$.

分析与解    注意到 $f(x)$ 为单调递减的奇函数,则由题可知有\[\begin{cases} f(a)=b,\\f(b)=a,\end{cases}\]因此 $a+b=0$,证明如下.
证明    若 $a>-b$,则\[f(a)<f(-b),\]于是\[f(a)+f(b)<0<a+b,\]矛盾;同理,若 $a<-b$,亦矛盾.因此 $a+b=0$.
于是\[-\dfrac{2b}{1+b}=-b,\]解得 $b=1$,因此\[b-a=2b=2.\]


下面给出一道练习:

已知集合 $A=\{x|-2\leqslant x\leqslant 2\},$ 函数 $f(x)=\dfrac{ax}{|x|+2},-4\leqslant x\leqslant 3$ 的值域为 $B$,如果 $A\subseteq B$,那么 $a$ 的取值范围是_______.

正确答案是$\left(-\infty,-\dfrac{10}3\right]\cup\left[\dfrac{10}3,+\infty\right)$.

    显然 $a\ne 0$.考虑函数 $g(x)=\dfrac{ax}{|x|+2}$,$x\in\mathbb R$ 为奇函数,且在 $(0,+\infty)$ 上单调,因此 $g(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的单调函数.因此函数 $f(x)$ 的值域为\[\begin{cases} \left[f(-4),f(3)\right],&a>0,\\\left[f(3),f(-4)\right],&a<0,\end{cases}\]结合 $A\subseteq B$,可得\[\left|\dfrac {3a}5\right|\geqslant 2,\]解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{10}3\right]\cup\left[\dfrac{10}3,+\infty\right)$.

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