勘误!勘误!勘误!(1月 15 日更新)

感谢读者朋友的批评指正,将勘误汇总如下,定期汇总为pdf供大家下载(请注意版次和时间).

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每日一题[1591]杨不等式

实数 $x,y \in (1,+\infty)$,且 $xy-2x-y+1=0$,求 $\dfrac 32x^2+y^2$ 的最小值.

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每日一题[1590]图形分割

在一个边长为 $a$ 的正方形草坪的四个角上都安有喷水装置,喷水装置可以 $90^{\circ}$ 旋转喷水,每个喷水装置都可以从其所在角的一边旋转喷水至该角的另一边,其有效射程均为 $a$,则能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为_______.

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每日一题[1589]费马点

已知 $x,y,z \in \mathbb R^+$,且 $x^2+y^2+xy=1$,$y^2+z^2+yz=2$,$z^2+x^2+zx=3$,则 $x+y+z=$ _______.

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每日一题[1588]分析截面

在棱长为 $1$ 的正方体 $C$ 内,作一个内切大球 $O_1$,再在 $C$ 内作一个小球 $O_2$,使它与大球 $O_1$ 外切,同时与正方体的三个面都相切,则球 $O_2$ 的表面积为_______.

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每日一题[1587]转化参数

已知函数 $f(x)=a\ln x+x^2-ax$.

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性.

2、若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$,且 $x_1>3>x_2$,求证:$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<6\ln 2-\dfrac 92$.

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每日一题[1586]纸老虎

已知函数 $f(x)=(2-x){\rm e}^{k(x-1)}-x$,其中 $k$ 为实数,${\rm e}$ 为自然对数的底数.

1、若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减,求 $k$ 的最大值.

2、当 $x\in (1,2)$ 时,证明:$\ln\dfrac{x(2x-1)}{2-x}>2\left(x-\dfrac 1x\right)$.

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每日一题[1585]完全平方数

已知无穷数列 $\{x_n\},\{y_n\}$:对任意正整数 $n$,$x_{n+1}=3x_n+2y_n$,$y_{n+1}=4x_n+3y_n$,且 $x_1=3$,$y_1=4$.

1、求证:$\{2x_n^2-y_n^2\}$ 为常数列.

2、分别判断数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 中是否含有整数的立方.

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每日一题[1584]联立与斜率积

已知椭圆 $E: x^2+4y^2=4$ 的左、右顶点分别为 $M,N$,过点 $P(-2,2)$ 作直线与椭圆 $E$ 交于 $A,B$ 两点,且 $A,B$ 位于第一象限,$A$ 在线段 $BP$ 上,直线 $OP$ 与直线 $NA$ 相交于 $C$ 点,连接 $MB,MC,AM$.直线 $AM,AC,MB,MC$ 的斜率分别记为 $k_{AM},k_{AC},k_{MB},k_{MC}$.求证:$\dfrac {k_{MA}}{k_{MB}}=\dfrac {k_{CM}}{k_{CN}}$.

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每日一题[1583]三角平方差

已知锐角三角形 $ABC$ 中,$\sin (A+B)=\dfrac 35$,$\sin (A-B)=\dfrac 15$,$AB=3$,则 $\triangle ABC$ 的面积为_______.

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每日一题[1582]函数值参数

设函数 $f(x)=ax^2+bx+c$($a \ne 0$)满足 $|f(0)| \leqslant 2$,$|f(2)| \leqslant 2$,$|f(-2)| \leqslant 2$,求当 $x \in [-2,2]$ 时 $y=|f(x)|$ 的最大值.

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