Math173

向量 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 的模均为整数，且\[\left(2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}\right)=52,\quad \left(2\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\right)\left(\left|\overrightarrow{a}\right|+3\left|\overrightarrow{b}\right|\right)=150,\]则下列选项中正确的有（       ）

A．$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ 的最大值和最小值的比值是 $ 3$

B．$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ 可能大于 $0$

C．$\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2$ 的最大值和最小值的比值是 $2$

D．$\left|\left|\overrightarrow {a}\right|-2\left| \overrightarrow{b}\right|\right|=5$

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已知在 $\triangle A B C$ 中，$B-C \geqslant \dfrac{\pi}{3}$，且满足其外接圆半径为 $2$，则其面积与周长的比值最大值为（       ）

A．$\dfrac{1}{2}$

B．$\dfrac{3}{8}$

C．$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

D．$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

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已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足关系式 $n\left(a_{n+1}-a_{n}+1\right)=a_{n+1}+a_{n}+1$，$S_{n}$ 表示数列的前 $n$ 项和．下列说法正确的有（       ）

A．若 $a_{2020}$ 是整数，则 $a_{3}$ 一定是整数

B．若 $a_{3}$ 是整数，则 $a_{2020}$ 一定是整数

C．若 $a_{2}=2$，则 $S_{n}=\dfrac{n(n-1)(n+4)}{6}$（$n \in \mathbb{N}^{+}$）

D．若 $\forall n \geqslant 2021$，都有 $a_{n}>0$，则 $a_{2020}$ 的最小值为 $2019$

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正 $2020$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{2020}$ 内接于单位圆 $O$，任取它的两个不同顶点 $A_{i}, A_{j}$，下列选项中正确的有（       ）

A．$\overrightarrow{O A_{i}} \cdot \overrightarrow{O A_{j}}>\dfrac{1}{2}$ 的概率大于 $\dfrac{1}{3}$

B．$\overrightarrow{O A_{i}} \cdot \overrightarrow{O A_{j}}>\dfrac{1}{2}$ 的概率小于 $\dfrac{1}{3}$

C．$\left|\overrightarrow{O A_{i}}+\overrightarrow{O A_{j}}\right|<1$ 的概率大于 $\dfrac{1}{3}$

D．$\left|\overrightarrow{O A_{i}}+\overrightarrow{O A_{j}}\right|<1$ 的概率小于 $\dfrac{1}{3}$

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国际数学奥林匹克竞赛（$IMO$）历史悠久，其考试一般分两天举行，每天考三道题．题目的类型共有四种，分别为代数、几何、组合、数论，且题目类型分布满足下列规则：

① 每个类型的题目至少出现一次；

② 每天的三道题类型各不相同；

③ 第 $3$ 题和第 $6$ 题中，至少有一道组合题． 下列说法正确的有（       ）

A．共有 $216$ 种不同的题目排布方案

B．共有 $192$ 种不同的题目排布方案

C．如果 $IMO$ 组委会想出 $2$ 道组合题，则共有 $120$ 种不同的题目排布方案

D．如果 $IMO$ 组委会想出 $2 $ 道组合题，则共有 $144$ 种不同的题目排布方案

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实数 $a, b$ 满足二次函数 $f(x)=x^{2}+a x+b$，$g(x)=x^{2}+b x+a$ 都有两个不同实根，并且它们的积 $f(x) \cdot g(x)$ 恰有三个不同实根，则下列说法正确的有（       ）

A．$f(x) \cdot g(x)$ 的三个不同实根之和与 $a, b$ 相关

B．$f(x) \cdot g(x)$ 的三个不同实根之和等于 $\dfrac{1}{2}$

C．$f(x)+g(x)$ 的两个实根之和（计重数）与 $a, b$ 相关

D．$f(x)+g(x)$ 的两个实根之和（计重数 $)$ 等于 $\dfrac{1}{2}$

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若一个正整数 $n$ 可以写作构成等差数列的 $p$ 个不同正整数的和，就称 $n$ 是“$p-$ 可差数"；若一个正整数 $n$ 可以写作构成等比数列的 $q$ 个不同正整数的和，就称 $n$ 是“$q$ 可比数”．下列说法正确的有（       ）

A．$2020$ 是 $101-$ 可差数

B．$2019$ 是 $3 -$ 可比数

C．存在 $p_{1}>5$，使得 $ 2019$ 是 $p_{1}-$ 可差数

D．不存在奇数 $q_{1} \geqslant 3,$ 使得 $2020$ 是 $q_{1}-$ 可比数

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设 $f$ 是 $\mathbb R^+\to \mathbb R^+$ 的函数，对任意的正实数 $x$，$f(3x)=3f(x)$，且当 $x\in (1,3]$ 时，$f(x)=1-|x-2|$，设 $a$ 是最小实数 $x$ 使得 $f(x)=2020$，$b$ 是 $(1,a)$ 之间使得 $f(x)=3$ 的实数 $x$ 的个数，则下列选项正确的有（       ）

A．$a=4207$

B．$a=4205$

C．$b=12$

D．$b=10$

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某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：数学有 $21$ 人获得优秀，物理 $19$ 人，化学 $20$ 人，数学物理都优秀 $9$ 人，物理化学都优秀 $7$ 人，化学数学都优秀 $8$ 人．另外，这个班有 $5$ 人任何一科都不优秀，则下列选项中正确的有

A．仅有物理一科优秀的最少有 $4$ 人

B．仅有数学一科优秀的最多有 $11$ 人

C．仅有化学一科优秀的最少有 $5$ 人

D．这个班可能有 $40$ 个人

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