Math173

2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #19

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，且经过点 $A(0,1)$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、若过点 $(-1,0)$，斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $B,D$，且与直线 $y=-1$ 交于点 $E$，点 $D$ 在线段 $BE$（不包括两端点）上，$O$ 为坐标原点，直线 $EO$ 与直线 $AB,AD$ 分别交于点 $M,N$．求证：点 $M,N$ 关于原点 $O$ 对称．

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2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #15

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 与等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 是两个无穷数列，且都不是常数列．下列结论中所有正确结论的序号是_____．

① 数列 $\left\{a_n\cdot b_n\right\}$ 不是等比数列；

② 若 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 都是递增数列，则数列 $\left\{a_n\cdot b_n\right\}$ 是递增数列；

③ 对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$，$b_n,b_{n+1},b_{n+2}$ 不是等差数列；

④ 存在数列 $\left\{a_n\right\}$，对任意的 $p,q,r\in\mathbb N^{\ast}$，且 $p<q<r$，使得 $a_p,a_q,a_r$ 不能构成等比数列．

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2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #14

已知函数 $f(x)=\begin{cases}a x-2,&x<a,\\3 x-x^2,&x\geqslant a.\end{cases}$ 若 $f(x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的一个可能的取值为_____；若 $f(x)$ 存在最大值，则 $a$ 的取值范围是_____．

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2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #10

如图 $1$ 所示，在正六棱柱 $ABCDEF-A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ 中，底面边长为 $1$，侧棱长为 $2$，$\overrightarrow{BB_2}=\lambda\overrightarrow{BB_1}$，$\overrightarrow{DD_2}=\lambda\overrightarrow{DD_1}$，$\overrightarrow{FF_2}=\lambda\overrightarrow{FF_1}$，$0<\lambda<1$．在正六棱柱 $ABCDEF-A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ 中，截去三棱锥 $B_2-ABC$，$D_2-CDE$，$F_2-EFA$，再分别以 $AC,CE,EA$ 为轴将 $\triangle ACB_2,\triangle CED_2,\triangle EAF_2$ 分别向上翻转 $180^{\circ}$，记 $B_2,D_2,F_2$ 三点重合的点为 $P$，围成的曲顶多面体如图 $2$ 所示．记正六棱柱 $ABCDEF-A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ 的表面积与体积分别为 $S_1,V_1$，当 $\lambda=\dfrac 1 4$ 时，记所围成的曲顶多面体的表面积与体积分别为 $S_2,V_2$，则下述判断正确的是（       ）

A．$S_1<S_2$，$V_1=V_2$

B．$S_1<S_2$，$V_1<V_2$

C．$S_1>S_2$，$V_1=V_2$

D．$S_1>S_2$，$V_1>V_2$

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2025 年北京市东城区高三期末数学试卷 #21

已知有穷正整数数列 $A_n: a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 4$）满足：$a_i\in\{1,2,\cdots,n\}$，且当 $i\ne j$（$i,j\in\mathbb N^{\ast}$，$1\leqslant i,j\leqslant n$）时，总有 $a_i\neq a_j$．定义数列 $A_n^{\ast}: a_1^{\ast},a_2^{\ast},\cdots,a_n^{\ast}$，其中 $a_1^{\ast}=a_1$， $$a_k^{\ast}=\begin{cases}a_k-a_{k-1}^{\ast},&a_{k-1}^{\ast}<a_k,\\ a_k+a_{k-1}^{\ast},&a_{k-1}^{\ast}\geqslant a_k,\end{cases}$$ 其中 $k=2,3,\cdots,n$．当 $a_n^{\ast}=m$ 时，称数列 $A_n$ 具有性质 $P(m)$．

1、判断下列数列是否具有性质 $P(1)$； ① $4,3,2,1$； ② $1,2,3,5,4$．

2、已知数列 $A_8$ 具有性质 $P(m)$，求 $m$ 的最小值； 是否存在数列 $A_n$ 具有性质 $P\left(\dfrac{n(n+1)}2\right)$，且 $a_1^{\ast}+a_2^{\ast}+\cdots+a_n^{\ast}=2025$？若存在，请找到使 $n$ 最小的一个数列 $A_n$；若不存在，请说明理由．

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2025 年北京市东城区高三期末数学试卷 #20

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点为 $(2,0)$，且焦距为 $2$．$A$ 为第一象限内 $E$ 上的动点，过点 $A$ 作斜率为 $\dfrac 1 2,-\dfrac 1 2$ 的直线分别与 $E$ 交于点 $M,N$（均异于点 $A$），直线 $MN$ 与 $x$ 轴交于点 $H$，$Q$ 为线段 $MN$ 的中点，直线 $AQ$ 与 $x$ 轴交于点 $P$．

1、求 $E$ 的方程；

2、当 $|HP|=3$ 时，求点 $A$ 的横坐标．

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2025 年北京市东城区高三期末数学试卷 #15

已知非空数集 $I,P$ 满足：

条件一    $\forall x\in I$，有 $x\in P$；

条件二     $\forall x,y\in I$，有 $x+y\in I$；

条件三     $\forall x\in I$ 且 $\forall y\in P$，有 $x y\in I$，

则称 $I$ 是 $P$ 的理想子集．

下列结论中正确结论的序号是_____．

① 若 $I=\{2 k\mid k\in\mathbb Z\}$，则 $I$ 是 $\mathbb Z$ 的理想子集；

② 若 $I$ 是 $\mathbb R$ 的理想子集，且存在非零实数 $a\in I$，则 $I=\mathbb R$；

③ 若 $I_1,I_2$ 是 $P$ 的理想子集，则 $I_1\cup I_2$ 也是 $P$ 的理想子集；

④ 若 $I_1,I_2$ 是 $P$ 的理想子集，则 $I_1\cap I_2$ 也是 $P$ 的理想子集．

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2025 年北京市东城区高三期末数学试卷 #10

已知 $f(x)=\sin\pi x$，$g(x)=-x^2+2 a x-a^2+1$．用 $\displaystyle\max\{a,b\}$ 表示 $a,b$ 中的最大值，设 $M(x)=\displaystyle\max\{f(x),g(x)\}$．若函数 $M(x)$ 在区间 $(0,2)$ 上有且仅有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（       ）

A．$(1,3)$

B．$\left(\dfrac 3 2,\dfrac 5 2\right)$

C．$(2,3)$

D．$\left(\dfrac 5 2,3\right)$

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2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #21

已知 $\left\{a_n\right\}$ 为各项均为整数的无穷递增数列，且 $a_1=1$．对于 $\left\{a_n\right\}$ 中的任意一项 $a_k$（$k\geqslant 3$）， 在 $\left\{a_n\right\}$ 中都存在两项 $a_i,a_j$（$i<j$），使得 $a_k=2 a_j-a_i$ 或 $a_k=\dfrac{a_j^2}{a_i}$．

1、若 $a_2=3$，$a_5=25$，写出 $a_4$ 的所有可能值；

2、若 $a_m=2025$．

① 当 $a_2=3$ 时，求 $m$ 的最大值；

② 当 $a_2=2$ 时，求 $m$ 的最小值．

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2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #20

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln (a x)}{x-1}$．

1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的定义域；

2、已知 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,-1]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

3、当 $a=\dfrac 2{\mathrm e}$ 时，证明：若 $x_1\in(0,1)$，$x_2\in(1,+\infty)$，则 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>\dfrac 3 2$． （参考数据：$\mathrm e^2\approx 7.39$，$\mathrm e^3\approx 20.09$，$\mathrm e^4\approx 54.60$）

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