每日一题[2878]极值点偏移

已知函数 $f(x)=\ln x$,$g(x)=a x-1$($a \in \mathbb{R}$).

1、讨论函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的单调性.

2、若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有两个不同的交点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$($x_1<x_2$).

① 求实数 $a$ 的取值范围.

② 求证:$-1<y_1<0$,且 $\mathrm{e}^{y_1}+\mathrm{e}^{y_2}>2$($\mathrm{e}$ 为自然对数的底数).

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每日一题[2877]“隐”零点

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x\left(x^2-(a+2) x+a+3\right)$.

1、讨论 $f(x)$ 的单调性.

2、若 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$,求证:$f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)<4 \mathrm{e}^2$.

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每日一题[2876]“隐”零点

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2-a x+\ln x$($a>0$).

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性.

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 , x_2\left(x_1>x_2\right)$,且 $f\left(x_1\right)-x_1<\lambda x_2$($\lambda \in \mathbb{R}$)恒成立,求 $\lambda$ 的取值范围.

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每日一题[2875]极值点联动进阶放缩

已知 $g(x)=\dfrac{1}{2} a x^2-x \ln x+x$,当 $g(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$($x_1<x_2$)时,求证: \[ (2 a \mathrm{e}-1)\left(x_1+x_2\right)<2 \mathrm{e} . \]

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每日一题[2874]ALG不等式

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2-2 x+a \ln x$($a>0$).

1、讨论 $f(x)$ 的单调性.

2、若 $f(x)$ 有 $2 $ 个极值点 $x_1, x_2$,证明:$\left|\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\right|<\sqrt{1-a}$.

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每日一题[2873]左右逢源

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} a x^2+\ln x $,$g(x)=-b x$,其中 $a , b \in \mathbb{R}$.设 $h(x)=f(x)-g(x)$.

1、若 $f(x)$ 在 $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 处取得极值,且 $f^{\prime}(1)=g(-1)-2$,求函数 $h(x)$ 的单调区间.

2、若 $a=0$ 时,函数 $h(x)$ 有两个不同的零点 $x_1 , x_2$.

① 求 $b$ 的取值范围.

② 求证:$\dfrac{x_1 x_2}{\mathrm{e}^2}>1$.

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每日一题[2872]端点分析

已知函数 $f(x)=a x(\ln x-1)-x^2$($a \in \mathbb{R}$)恰有两个极值点 $x_1 , x_2$,且 $x_1<x_2$.

1、求实数 $a$ 的取值范围.

2、若不等式 $\ln x_1+\lambda \ln x_2>1+\lambda$ 恒成立,求实数 $\lambda$ 的取值范围.

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每日一题[2871]极值点偏移

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{2 x}-a x^2-1$($x \in \mathbb{R}$)有两个极值点 $x_1 , x_2$.

1、求实数 $a$ 的取值范围.

2、求证:$a \mathrm{e}^{2 x_1}+a \mathrm{e}^{2 x_1}>2 \mathrm{e}^{2 x_1} \cdot \mathrm{e}^{2 x_2}$.

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每日一题[2870]三次曲线

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} x\left(x^2+3 x+a\right)$.

1、求 $f(x)$ 的单调区间.

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 , x_2$,设 $A\left(x_1, f\left(x_1\right)\right) , B\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$,是否存在 $a$,使得直线 $A B$ 与 $x$ 轴的交点在曲线 $y=f(x)$ 上?如果存在,求 $a$ 的值;如果不存在,请说明理由.

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每日一题[2869]三合一

已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$,当 $x<0$ 时,$f(x)>1$,且对任意的实数 $x , y \in \mathbb{R}$,等式 $f(x) f(y)=f(x+y)$ 成立,若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $f\left(a_{n+1}\right) f\left(\dfrac{1}{1+a_n}\right)=1$($n \in \mathbb{N}^{\ast}$),且 $a_1=f(0)$,则下列结论成立的是(       )

A.$f\left(a_{2013}\right)>f\left(a_{2016}\right)$

B.$f\left(a_{2014}\right)>f\left(a_{2017}\right)$

C.$f\left(a_{2016}\right)<f\left(a_{2015}\right)$

D.$f\left(a_{2013}\right)>f\left(a_{2015}\right)$

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