数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_0=0$，$a_n=\dfrac{1}{2}\left(3 a_{n-1}+\sqrt{5 a_{n-1}^2+4}\right)$（$n \geqslant 1$）．证明：该数列的各项皆为自然数，且对于数列中的任意连续的三项 $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$，其两两的乘积加 $1$ 的值皆是正整数的平方．
每日一题[3181]几何计数
$P$ 是单位正方体内部或表面上的点，满足条件：
① 正方体有一条棱的两个端点到 $P$ 的距离分别是 $\dfrac{8}{15}$ 与 $\dfrac{17}{15}$；
② 正方体中至少有两个顶点到 $P$ 的距离相等．
试求同时满足上述条件的点 $P$ 的个数．
每日一题[3180]和积凑整
对于正整数 $n$，将其各位数字之和记为 $s(n)$，各位数字之积记为 $p(n)$，若成立 $s(n)+p(n)=n$，就称 $n$ 为巧合数，则所有巧合数的和为_______．
每日一题[3177]直线系
一直线被两直线 $4x+y+6=0$ 与 $3x-5y-6=0$ 截得的线段中点恰好是坐标原点 $O$，求这条直线的方程是_______．
每日一题[3176]分类计数
虎年 $2022$ 具有这样的性质：它是 $6$ 的倍数并且其各位数字之和为 $6$，这 种正整数被称为“白虎数”，那么，在前 $ 2022$ 个正整数中，“白虎数”的个数 $n=$ _______．
每日一题[3175]进阶放缩
已知 $a=\dfrac{9-\mathrm{e}}{3+\mathrm{e}}$，$ b=\ln 3$，$ c=2 \ln 2-\dfrac{2}{7}$，则（ ）
A．$c>b>a$
B．$a>b>c$
C．$c>a>b$
D．$b>a>c$
每日一题[3174]寻找奇环
把集合 $A=\{1011,1012, \cdots, 2022\}$ 任意划分为两个不交的非空子集．证明：至少有一个子集中包含两个数，这两个数之和为完全平方数．
每日一题[3173]举步维艰
已知数列 $\{a_n\}$ 共有 $100$ 项，满足 $a_1=0$，$a_{100} = 475$，且 $\left|a_{k+1}-a_k\right|=5$（$k=1,2,3,\cdots,99$），则符合条件的不同数列有_______个．