在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的一个焦点为 $\left(2\sqrt 2,0\right)$，过双曲线上的一点 $M$ 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点 $A$，若 $\triangle OMA$ 的面积为 $1$，则双曲线的离心率 $e$ 为_______．
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每日一题[1834]比大小
已知 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 成等比数列，满足 $a_1+a_2+a_3+a_4=(a_2+a_3+a_4)^2$，且 $a_4>1$，下列选项正确的是（ ）
A．$a_1>a_3$
B．$a_3>a_4$
C．$a_1>a_2$
D．$a_2<a_4$
每日一题[1833]非对称位置最值
已知 $\triangle ABC$ 中，$\sin C=2\cos A\cos B$，则 $\cos^2A+\cos^2B$ 的最大值是_______．
每日一题[1832]有界！不许动
已知等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\cos (\omega n)$（$\omega \in \mathbb R$，$n\in\mathbb N^{\ast}$），则其前 $10$ 项和为_______．
每日一题[1831]对数平均
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\dfrac{\rm e}2x^2+ax$．
1、若 $\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>\dfrac{\rm e}2(x_1+x_2)$ 对任意 $x_1>x_2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
2、若函数 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，求证：$x_1+x_2>2+\dfrac a{\rm e}$．
每日一题[1830]必要条件探路
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-k({\rm e}-1)x$．
1、若函数 $f(x)$ 有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围．
2、若 $f(x)-kx\ln x\geqslant 1$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．
每日一题[1829]极化恒等式
在 $\triangle ABC$ 中，点 $E,F$ 分别是线段 $AB,AC$ 的中点，点 $P$ 在直线 $EF$ 上，若 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$，则 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}^2$ 的最小值是（ ）
A．$2$
B．$3$
C．$3\sqrt 2$
D．$2\sqrt 3$
每日一题[1828]扰动区间
已知函数 $f(x)=x\ln x-2ax^2+3x-a$，$a\in\mathbb Z$．
1、当 $a=1$ 时，判断 $x=1$ 是否是函数 $f(x)$ 的极值点，并说明理由．
2、当 $x>0$ 时，不等式 $f(x)\leqslant 0$ 恒成立，求整数 $a$ 的最小值．
每日一题[1827]分拆
设正整数 $a,b,cd$ 满足 $a>b>c>d$ 且 $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$，证明：$ab+cd$ 不是素数．
每日一题[1826]端点分析
已知函数 $f(x)=2ax+{\rm e}^x$，$g(x)=ax^2-2ax-x{\rm e}^x$，$a\in \mathbb R$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若对任意实数 $x$，$f(x)+g(x)\leqslant 1$，求 $a$ 的取值范围．