每日一题[890]裂项求和

将正偶数按照如下方式进行分组:
\[(2),\ (4,6),\ (8,10,12),\ \cdots,\]设第$n\ \left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$组数的和为$a_n$,求数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和$S_n$.

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每日一题[889]镜面反射

在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,棱$AB$的中点为$P$.若光线从$P$出发,依次经过三个侧面$BCC_1B$,$DCC_1D_1$,$ADD_1A_1$反射后,落到侧面$ABB_1A_1$(不包括边界),求入射光线$PQ$与侧面$BCC_1B_1$所成角的正切值的取值范围.

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每日一题[888]巧妙转化条件

已知$a,b\in \mathbb R$且$0\leqslant a+b\leqslant 1$,函数$f(x)=x^2+ax+b$在区间$\left[-\dfrac 12,0\right]$上至少存在一个零点,求$a-2b$的取值范围.

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每日一题[887]发现递推关系

定义$g(n)$为自然数$n$中所有因数中的最大奇数,求$$M(n)=g(1)+g(2)+\cdots+g\left(2^n-1\right)$$的值.

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每日一题[886]条条大路通罗马

在$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,$C\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$,且$\triangle ABC$的面积为$2$,求$(c+a-b)(c+b-a)$的取值范围.
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每日一题[885]指对纠缠

已知函数$f(x)=\ln x+\dfrac ax$,其中$a>0$.

(1) 若函数$f(x)$有零点,求实数$a$的取值范围;

(2) 求证:当$a\geqslant \dfrac{2}{\rm e}$,$b>1$时,$f(\ln b)>\dfrac 1b$.

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每日一题[884]三角形的倾斜度

设$\triangle ABC$的三边长分别为$a,b,c$,且$a\leqslant b\leqslant c$,定义$\triangle ABC$的倾斜度\[t=\max\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}\cdot \min\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}.\]
(1) 若$\triangle ABC$为等腰三角形,求$\triangle ABC$的倾斜度;

(2) 若$a=1$,求$t$的取值范围.

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每日一题[883]函数中的恒成立问题

已知函数$f(x)={\log_2}x-2{\log_2}(x+c)$,其中$c>0$.若对于任意的$x\in (0,+\infty)$,都有$f(x)\leqslant 1$,求实数$c$的取值范围.

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每日一题[882]钟形曲线

已知抛物线$y=\dfrac 14x^2$和$y=-\dfrac{1}{16}x^2+5$所围成的封闭曲线如图所示,给定$A(0,a)$,若在此时封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点$A$对称,求实数$a$的取值范围.

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每日一题[881]按图索骥

已知$f\left( x \right)$是定义在$\left( {0 , + \infty } \right)$上的可导函数,满足$f\left( x \right) > 0$,且$f\left( x \right) + f'\left( x \right) < 0$.

(1) 讨论函数$F\left( x \right) = {{\rm{e}}^x}f\left( x \right)$的单调性;

(2)设$0 < x < 1$,比较$xf\left( x \right)$与$\dfrac{1}{x}f\left( {\dfrac{1}{x}} \right)$的大小.

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