每日一题[798]数列与不等式

已知数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$满足$a_1=2$,$b_n=\dfrac{2(a_n+2)}{a_{n+1}-a_n}$.
(1)若$b_n=4a_n$,求证:$a_n\geqslant \dfrac{n+2}2$;
(2)若$(b_{n+1}-b_n)a_n=2(b_n+2)$且$b_1=3$,求证:$a_n<18$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[797]“六芒星”闪耀

如图,两个正三角形$ABC,A_1B_1C_1$组成“六芒星”,$O$为“六芒星”的中心,$P$为“六芒星”图案上一点(边界上),且$\overrightarrow  {OP}=x\overrightarrow  {OD}+y\overrightarrow {OC_1}$,则$x+y$的取值范围是________.
继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[796]绝对值三角不等式

已知$a,b\in\mathbb R$,若函数$f(x)=|a\sin x+b\cos x-1|+|b\sin x-a\cos x|$的最大值为$11$,则$a^2+b^2$的值是______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 2条评论

每日一题[795]焦点弦长公式

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{32}=1$,$F_1,F_2$是$E$的左、右焦点,$AB$是过$F_1$的焦点弦,且$\triangle AF_2B$的面积为$32$,求$|AB|$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[794]三次方程的根

已知关于$x$的方程$x^3-3x+4=0$的三个根分别为$a,b,c$,求$(a-b)(b-c)(c-a)$的值.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 2条评论

每日一题[793]先探索 再证明

是否存在正整数$a$,使得${\rm e}^x-ax\geqslant x^2\ln x$对一切$x>0$恒成立?若存在,求出$a$的最大值;若不存在,请说明理由.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[792]层层分解

已知函数$f(x)={\rm e}^x\left(2-{\rm e}^x\right)+(a+2)\left|{\rm e}^x-1\right|-a^2$的零点个数为$3$,则实数$a$的取值范围是________.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[791]圆与双曲线

设$F_1,F_2$为双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左、右焦点,双曲线$C$与圆$x^2+y^2=r^2$的一个交点为$P$,若$\dfrac{|PF_1|+|PF_2|}{r}$的最大值为$4\sqrt 2$,则双曲线的离心率$e$为________.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[790]披着解析式外衣的性质

已知函数$f(x)=2x|x|$,若对任意的$x\geqslant 1$,$f(x-m)-mf(x)<0$恒成立,则实数$m$的取值范围是________.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[789]复合函数的联合图象

已知函数$f(x)=\begin{cases} \ln x,&x\geqslant 1,\\ 1-\dfrac x2,&x<1,\end{cases} $若$F(x)=f(f(x)+1)+m$有两个零点$x_1,x_2$,则$x_1+x_2$的取值范围是______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论