每日一题[1791]对称换元

已知正整数 $x,y,z$ 满足条件 $xyz=(14-x)(14-y)(14-z)$,且 $x+y+z<28$,则 $x^2+y^2+z^2$ 的最大值为_______.

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每日一题[1790]异面垂直

正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中,$D$ 为 $AC$ 的中点.

1、证明:$AB_{1}\parallel BDC_{1}$.

2、当 $\dfrac{AA_{1}}{AB}$ 取何值时,$AB_{1}$ 与 $BC_{1}$ 垂直?

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每日一题[1789]一决胜负

甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 $1$ 分,负者得 $0$ 分;当其中一人的得分比另一人的多 $2$ 分时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过 $20$ 次,即经 $20$ 次比赛,得分多者赢得这场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为 $p$($0<p<1$),乙获胜的概率为 $q=1-p$.假定各次比赛的结果是相互独立的,比赛经 $\xi$ 次结束,求 $\xi$ 的期望 $E(\xi)$ 的变化范围.

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每日一题[1788]张开双臂

已知方程 $|x-2n|=k\sqrt x$($n\in\mathbb N^{\ast}$)在区间 $(2n-1,2n+1]$ 上有两个不相等的实数解,则 $k$ 的取值范围是(        )

A.$(0,+\infty)$

B.$\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right]$

C.$\left(\dfrac1{2n+1},\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right]$

D.以上答案均不正确

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每日一题[1787]抛物线上的共圆

设 $0<a<b$,过两定点 $A(a,0)$ 和 $B(b,0)$ 分别引直线 $l$ 和 $m$,使之与抛物线 $y^2=x$ 有四个不同的交点,当这四点共圆时,求这种直线 $l$ 与 $m$ 的交点 $P$ 的轨迹.

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每日一题[1786]补形

三棱锥 $S-ABC$ 中,侧棱 $SA,SB,SC$ 两两垂直,$M$ 为 $\triangle ABC$ 的重心,$D$ 为 $AB$ 的中点,作与 $SC$ 平行的直线 $DP$.

1、求证:$DP$ 与 $SM$ 相交.

2、求证:设 $DP$ 与 $SM$ 的交点为 $D'$,则 $D'$ 为三棱锥 $S-ABC$ 的外接球的球心.

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每日一题[1785]一物多用

用一些卡片打印三位数,每张卡片上打印一个三位数,有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数,如 $198$ 倒过来看是 $861$;有的卡片则不然,如 $531$.因此有些卡片可以一卡两用,欲使 $900$ 个三位数都可以用这些卡片表示,那么至少需要打印_______张卡片.\[\begin{array}{c|cccccccccc}\hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline \text{倒置}&0&1&-&-&-&-&9&-&8&6\\ \hline\end{array}\]

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每日一题[1784]长除法

整数 $\left[\dfrac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]$ 的末位两位数字是_______.

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每日一题[1783]估算

将正奇数集合 $\{1,3,5,\cdots\}$ 由小到大按第 $n$ 组有 $2n-1$ 个奇数进行分组:\[\begin{split} &1,\\ &3,5,7,\\ &9,11,13,15,17,\\ &\cdots, \end{split}\]则 $1991$ 位于第_______行.

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每日一题[1782]藏起的辅助线

方程 $|x-y^2|=1-|x|$ 表示的曲线为(       )

A.

B.

C.

D.

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