每日一题[1865]切点弦方程

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知圆 $C:(x-2)^2+(y-2)^2=20$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点($A$ 点在 $B$ 点的左侧),圆 $C$ 的弦 $MN$ 过点 $T(3,4)$,分别过 $M,N$ 作圆 $C$ 的切线,交点为 $P$,则线段 $AP$ 的最小值为_______.

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每日一题[1864]解方程

已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x}-4$,$g(x)=a-\dfrac{4ax}{{\rm e}^x}$,若方程 $f(x)=g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上有两个实数解,则实数 $a$ 的取值范围是(        )

A.$[0,{\rm e})$

B.$(0,{\rm e}]\cup\{4\}$

C.$({\rm e},+\infty)$

D.$(-\infty,{\rm e})\cup\{4\}$

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每日一题[1863]累次求极值

已知函数 $f(x)=\dfrac a2x^2-x(\ln x-b-1)$($a,b\in\mathbb R$).

1、当 $b=-1$ 时,讨论函数 $f(x)$ 的零点个数.

2、若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,求 $2a+b$ 的最小值.

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每日一题[1862]小心细致

已知函数 $f(x)=\begin{cases} \dfrac{{\rm e}x}{{\rm e}^x},&x\leqslant 2,\\ \dfrac{4x-8}{5x},&x>2,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f^2(x)-3a|f(x)|+2a^2=0$ 恰有 $5$ 个实数解,则实数 $a$ 的取值范围是_______.

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每日一题[1861]阿波罗尼斯圆

已知 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 是互相垂直的单位平面向量,平面向量 $\overrightarrow c$ 满足 $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b-\overrightarrow c\right|=\dfrac 12$,则 $2\left|\overrightarrow c-\overrightarrow b\right|+\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a\right|$ 的最小值为(       )

A.$\dfrac{\sqrt {15}}2$

B.$\sqrt{15}$

C.$\dfrac{\sqrt{17}}2$

D.$\sqrt{17}$

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每日一题[1860]松弛有度

已知函数 $f(x)=\left|x+\dfrac 1x-a\right|$($a\in\mathbb R$),若存在 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in\left[\dfrac 12,2\right]$,使得 $f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})=f(x_n)$ 成立的最大的正整数 $n$ 为 $6$,则 $a$ 的取值范围是_______.

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每日一题[1859]第一定义两吃

点 $P$ 在双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$ 的右支上,双曲线的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$,且 $|PF_2|=2$,$\triangle PF_1F_2$ 的内心为 $I$,$O$ 为坐标原点,过 $F_1$ 作 $PI$ 的垂线,垂足为 $M$,则 $|OI|\cdot |OM|$ 的值为_______.

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每日一题[1858]处理内心

在 $\triangle ABC$ 中,$a,b,c$ 分别为内角 $A,B,C$ 所对的边,且 $(a\cos C+c\cos A)\tan A=\sqrt 3b$.

1、求角 $A$ 的大小.

2、若 $a=\sqrt 3$,$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心,求 $IB+IC$ 的最大值.

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每日一题[1857]抛物线克星之二

已知直线 $l:x=my+c$($c>0$)与抛物线 $y^2=4x$ 相交于 $A,B$ 两点,$P$ 点为抛物线的准线与 $x$ 轴的交点,且 $\triangle PAB$ 的面积为 $4c+4$,当 $2m+c$ 取到最大值时,直线 $l$ 的方程为_______.

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每日一题[1856]抛物线克星之一

过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点作直线 $l$,交抛物线于 $P,Q$ 两点,以线段 $PQ$ 为直径的圆 $M$ 交 $x$ 轴于 $A,B$ 两点,交 $y$ 轴于 $C,D$ 两点,则 $\dfrac{AB^2}{CD^2}$ 的最小值为(       )

A.$\dfrac{11}4$

B.$\dfrac52$

C.$\dfrac{2\sqrt{13}-1}4$

D.$\dfrac{\sqrt{13}-1}2$

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