勘误!勘误!勘误!(1月 15 日更新)

感谢读者朋友的批评指正,将勘误汇总如下,定期汇总为pdf供大家下载(请注意版次和时间).

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每日一题[1466]垂径定理

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右焦点 $F$,过 $F$ 作两条互相垂直的弦 $AB,CD$,弦 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$,求证:直线 $MN$ 恒过定点.

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每日一题[1465]递归

一个国际象棋棋盘(由 $8\times 8$ 个方格组成),其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定).“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成,如图所示.现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌,则(       )

A.至多能剪成 $19$ 块“L”形骨牌

B.至多能剪成 $20$ 块“L”形骨牌

C.一定能剪成 $21$ 块“L”形骨牌

D.前三个答案都不对

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每日一题[1464]面积坐标公式

已知直线过定点 $P(1,1)$,且与抛物线 $x^2=4y$ 交于 $A,B$ 两点,$l_1,l_2$ 分别过 $A,B$ 两点且与抛物线相切.设 $l_1,l_2$ 交点为 $C$.

1、求交点 $C$ 的轨迹方程.

2、求三角形 $ABC$ 面积的最小值.

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每日一题[1463]迭代函数

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足递推关系式:$2a_{n+1}=1-a_{n}^{2}(n\geqslant 1,n\in\mathbb N)$,且 $0<a_{1}<1$.

1、求 $a_{3}$ 的取值范围.

2、用数学归纳法证明:当 $n\geqslant 3$ 且 $n\in\mathbb N$ 时,$\left|a_{n}-\left(\sqrt 2-1\right)\right|<\dfrac{1}{2^{n}}$.

3、若 $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$,求证:当 $n\geqslant 3$ 且 $n\in\mathbb N$ 时 $\left|b_{n}-\left(\sqrt 2+1\right)\right|<\dfrac{12}{2^{n}}$.

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每日一题[1462]两边夹

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$,$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{2a_n}$,则 $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(a_n-\sqrt n\right)=$ ______.

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每日一题[1461]对偶

设 \[ A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} \] 是由 $1,2,3,\cdots,n^2$ 组成的 $n$ 行 $n$ 列的数表(每个数恰好出现一次),$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb{N}^{*}$.若存在 $1\leqslant i,j\leqslant n$,使得 $a_{ij}$ 既是第 $i$ 行中的最大值,也是第 $j$ 列中的最小值,则称数表 $A$ 为一个“好数表”,$a_{ij}$ 为数表 $A$ 的一个“好值”.对任意给定的 $n$,所有“好数表”构成的集合记作 $\Omega_n$.

1、给出数表 \[ A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix},\ B= \begin{pmatrix} 1&4&7\\ 8&2&5\\ 6&9&3 \end{pmatrix}, \]判断 $A,B$ 是否是“好数表”,若是,写出它的一个“好值”.

2、求证:若数表 $A$ 是“好数表”,则 $A$ 的“好值”是唯一的.

3、在 $\Omega_{19}$ 中随机选取一个数表 $A$,记 $A$ 的“好值”为 $X$,求 $X$ 的数学期望 $E(X)$.

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每日一题[1460]椭圆的参数方程

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$),点 $P(0,1)$ 是椭圆的上顶点,离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$,过点 $O(0,0)$ 作直线 $l$ 交椭圆于点 $A,B$ 两点(异于点 $P$).

1、求椭圆方程.

2、设直线 $PA$ 的斜率为 $k$,线段 $PB$ 的中垂线与 $y$ 轴交于点 $E$,若点 $E$ 在椭圆的外部,求斜率 $k$ 的取值范围.

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每日一题[1459]补形

在三棱锥 $A-BCD$ 中,$BC=BD=AC=AD=10$,$AB=6$,$CD=16$,点 $P$ 在平面 $ACD$ 内,且 $BP=\sqrt{30}$,设异面直线 $BP$ 与 $CD$ 所成角为 $\alpha$,则 $\sin\alpha$ 的最小值为( )

A.$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$

B.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$

C.$\dfrac{2\sqrt 5}5$

D.$\dfrac{\sqrt 5}5$

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每日一题[1458]收敛圆

已知 $f$ 是直角坐标平面 $xOy$ 到自身的一个映射,点 $P$ 在映射 $f$ 下的象为点 $Q$,记作 $Q=f(P)$.设 $P(x_{1},y_{1})$,$P_{2}=f(P_{1})$,$P_{3}=f(P_{2})$,$\cdots$,$P_{n}=f(P_{n-1})$,$\cdots\cdots$.如果存在一个圆,试所有的点 $P_{n}(x_{n},y_{n})(n\in\mathbb N^{*})$ 都在这个圆内或圆上,那么称这个圆为点 $P(x_{n},y_{n})$ 的一个收敛圆.特别地,当 $P_{1}=f(P_{1})$ 时,则称点 $P_{1}$ 为映射 $f$ 下的不动点.

1、点 $P(x,y)$ 在映射 $f$ 下的象为点 $Q(2x,1-y)$. ① 求映射 $f$ 下不动点的坐标; ② 若 $P_{1}$ 的坐标为 $(1,2)$,判断点 $P_{n}\left(x_{n},y_{n}\right)(n\in\mathbb N^{*})$ 是否存在一个半径为 $3$ 的收敛圆,并说明理由.

2、若点 $P(x,y)$ 在映射 $f$ 下的象为点 $Q\left(\dfrac{x+y}{2}+1,\dfrac{x-y}{2}\right)$,$P_{1}(2,3)$.求证:点 $P_{n}(x_{n},y_{n})(n\in\mathbb N^{*})$ 存在一个半径为 $\sqrt 5$ 的收敛圆.

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每日一题[1457]创新数列

设 $m>3$,对于有穷数列 $\{a_{n}\}(n=1,2,\cdots,m)$,令 $b_{k}$ 为 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$ 中的最大值,称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“创新数列”,数列 $\{b_{n}\}$ 中不相等项的个数称为 $\{a_{n}\}$ 的“创新阶数”.例如数列 $2,1,3,7,5$ 的创新数列为 $2,2,3,7,7$,创新阶数为 $3$.

1、考查自然数 $1,2,\cdots,m(m>3)$ 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 $\{c_{n}\}$.

2、若 $m=5$,写出创新数列为 $3,4,4,5,5$ 的所有数列 $\{c_{n}\}$. 是否存在数列 $\{c_{n}\}$,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数列 $\{c_{n}\}$,若不存在,请说明理由.

3、在创新阶数为 $2$ 的所有数列 $\{c_{n}\}$ 中,求它们的首项的和.

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