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题拍拍征解问题[24]
已知 $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=0$，求\[\csc^2\alpha+\csc^2\beta+\csc^2\gamma-2|\csc\alpha\csc\beta\csc\gamma|\]的值．
题拍拍征解问题[22]
给定 $k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）种颜色，对每个正整数都用 $k$ 种颜色中的一种进行染色．求证：无论怎么染色，一定存在四个颜色相同的正整数 $a,b,c,d$（$a,b,c,d$ 互不相同），满足下面三个条件：① $ad=bc$；② $\dfrac ba=2^m$；③ $\dfrac ca=3^n$；其中 $m, n$ 为正整数．
每日一题[2259]内外半径
已知双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$）的焦点为 $F_{1}, F_{2}$，$P$ 是双曲线上一点，且 $\angle F_{1} P F_{2}=\dfrac{\pi}{3}$．若 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 的外接圆和内切圆的半径分别为 $R, r$，且 $ R=4 r$，则双曲线的离心率 $e$ 为_______．
每日一题[2258]韦达定理
已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$，则 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 的最小值是（ ）
A．$\dfrac{1}{3}$
B．$\dfrac{5}{9}$
C．$\dfrac{7}{9}$
D．$1$
每日一题[2257]中垂面
在棱长为 $4 \sqrt{2}$ 的正四面体 $A-B C D$ 中，点 $E, F$ 分别为直线 $A B, C D$ 上的动点，点 $P$ 为 $E F$ 中点，$Q$ 为正四面体中心（满足 $QA=QB=QC=QD$），若 $PQ=\sqrt 2$，则 $EF$ 的长度为（ ）
A．$2 \sqrt{6}$
B．$\sqrt{6}$
C．$3$
D．$2$
每日一题[2256]擦身而过
已知函数 $f(x)=\begin{cases} \cos\dfrac{\pi x}2-1,&x\geqslant 0,\\ -{\log_a}(-x),&x<0,\end{cases}$（$a>0$ 且 $a \neq 1$），使得函数图象上关于原点对称的点至少有 $3$ 对的充分条件是（ ）
A．$a\in\left(0, \dfrac{\sqrt{6}}{6}\right)$
B．$a\in\left(\dfrac{\sqrt{6}}{6}, 1\right)$
C．$a\in\left(0, \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)$
D．$a\in\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}, 1\right)$
每日一题[2255]焦半径与焦点弦
已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$，原点为 $O,$ 椭圆的动弦 $A B$ 过焦点 $F$ 且不垂直于坐标轴，弦 $A B$ 的中点为 $N$，椭圆 $C$ 在点 $A, B$ 处的两切线的交点为 $M$．
1、求证：$O, M, N$ 三点共线．
2、求 $\dfrac{|A B| \cdot|F M|}{|F N|}$ 的最小值．
每日一题[2254]三角不等式
已知 $|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|=2$，则 $3|\boldsymbol a+\boldsymbol b|+2|\boldsymbol a -\boldsymbol b|$ 的最大值是_______；最小值是_______．