每日一题[765]解三角形中的条件转化

已知$\triangle ABC$中,$\angle BAC,\angle ABC,\angle BCA$所对的边分别为$a,b,c$,$AD\perp BC$,且$AD$交$BC$于点$D$,$AD=a$,若$\dfrac {\sin^2\angle ABC+\sin^2\angle BCA+\sin^2\angle BAC}{\sin\angle ABC\cdot\sin\angle BCA}\leqslant m$恒成立,则实数$m$的取值范围为______.

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每日一题[764]三角形外心的向量处理

设$O$是$\triangle ABC$的外心,$a,b,c$分别为$\triangle ABC$的内角$A,B,C$的对边,满足$b^2-2b+c^2=0$,则$\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {AO}$的取值范围是_______.

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每日一题[763]复合函数的零点

已知函数$f(x)=ax+\ln x-\dfrac {x^2}{x-\ln x}$有三个不同的零点$x_1,x_2,x_3$(其中$x_1<x_2<x_3$),则$$\left(1-\dfrac{\ln{x_1}}{x_1}\right)^2\left(1-\dfrac{\ln{x_2}}{x_2}\right)\left(1-\dfrac{\ln{x_3}}{x_3}\right)$$的值为(      )

A.$1-a$
B.$a-1$
C.$-1$
D.$1$

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每日一题[762]按部就班

设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的导函数为$f'(x)$,对$\forall x\in\mathbb{R}$,不等式$f(x)\geqslant f'(x)$恒成立,则$\dfrac {b^2}{a^2+2c^2}$的最大值为________.

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每日一题[761]“有”一例外

设函数$f(x)=\begin{cases} 2-|x+2|,x\leqslant 0,\\x^2,x>0,\end{cases} $,$g(x)=k\left(x-\dfrac 43\right)(k\in\mathbb{R})$,若存在唯一的整数$x$,使得$\dfrac{f(x)-g(x)}{x}<0$,则$k$的取值范围是________.

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每日一题[760]规划中的换元

已知函数$f(x)=(x^2+ax+b){\rm e}^x$,当$b<1$时,函数$f(x)$在$(-\infty,-2)$和$(1,+\infty)$上均为增函数,则$\dfrac{a+b}{a-2}$的取值范围是_______.

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练习题集[88]基础练习

1.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n+\dfrac cn$,若对任意$n\in\mathbf N^*$,都有$a_n\geqslant a_3$,则实数$c$的取值范围是________.

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每日一题[759]从切线含义出发

已知不等式$\ln (x+1)-1\leqslant ax+b$对一切$x>-1$都成立,则$\dfrac{b}a$的最小值是_______.

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每日一题[758]各个击破

已知$M(3,2)$,点$P$在$y$轴上运动,点$Q$在圆$C:(x-1)^2+(y+2)^2=4$上运动,则$\overrightarrow {MP}+\overrightarrow {MQ}$的长度的最小值是_______.

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每日一题[757]交轨定动点

在$\triangle ABC$中,$M$是$BC$的中点,$BM=2$,$AM=AB-AC$,则$\triangle ABC$的面积的最大值为_______.

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