每日一题[692]求通项,证上界

(2011年广东卷)设$b>0$,数列$\{a_n\}$满足$a_1=b$,$a_n=\dfrac{nba_{n-1}}{a_{n-1}+2n-2}$($n\geqslant 2$,$n\in\mathcal N^*$).
(1) 求数列$\{a_n\}$的通项公式;
(2) 证明:对于一切正整数$n$,$a_n\leqslant \dfrac{b^{n+1}}{2^{n+1}} +1$.

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每日一题[691]边界定乾坤

已知适合不等式$\left|x^2-4x+a\right|+|x-3|\leqslant 5$的$x$的最大值为$3$,求实数$a$的值,并解该不等式.

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每日一题[690]交卷顺序

阶梯教室安装的连体课桌一行坐$6$个人,考生只能从课桌两头走出考场,考生交卷时间先后不一,如果坐在里面的考生要先交卷就需要打扰别人,把一行考生中打扰别人交卷的人数视为随机变量$X$,求$X$的数学期望.

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练习题集[78]不等式高能篇

先发高能预警!

1.已知$A,B,C$是锐角,且$\tan A+\tan B+\tan C=1$,求证:$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C\leqslant \dfrac 95$. 继续阅读

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每日一题[689]双曲线的焦半径公式

过双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>0,b>0$)的一个焦点$F$作平行于渐近线的两直线,与双曲线分别交于$A,B$两点,若$|AB|=2a$,双曲线的离心率为$e$,则$\left[e^2\right]=$_______.

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每日一题[688]一个萝卜一个坑

2011年北京市朝阳区高考二模:

若集合$B$是集合$A=\{1,2,3,\cdots ,23\}$的$12$元子集,且存在$a,b\in B$,$b<a$,$b\mid a$,则称$B$为“和谐集”.求最大的$m\in A$,使包含$m$的集合$A$的有$12$个元素的任意子集为“和谐集”.

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每日一题[687]零点问题的转化

若函数$f(x)=2{\rm e}^x-ax^2+(a-2{\rm e})x$有三个不同的零点,则实数$a$的取值范围是________.

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每日一题[686]以不变应万变

2011年广东卷高考数学理科第21题(压轴题):

在平面直角坐标系$xOy$上,给定抛物线$L:y=\dfrac 14x^2$.实数$p,q$满足$p^2-4q\geqslant 0$,$x_1,x_2$是方程$x^2-px+q=0$的两根,记$\varphi(p,q)=\max\{|x_1|,|x_2|\}$.
(1) 过点$A\left(p_0,\dfrac 14p_0^2\right)$($p_0\neq 0$)作$L$的切线交$y$轴于点$B$.证明:对线段$AB$上的任一点$Q(p,q)$,有$\varphi(p,q)=\dfrac 12|p_0|$;
(2) 设$M(a,b)$是定点,其中$a,b$满足$a^2-4b>0$,$a\neq 0$.过$M(a,b)$作$L$的两条切线$l_1,l_2$,切点分别为$E\left(p_1,\dfrac 14p_1^2\right)$,$E'\left(p_2,\dfrac 14p_2^2\right)$,$l_1,l_2$与$y$轴分别交于$F,F'$.线段$EF$上异于两端点的点集记为$X$.证明:$M(a,b)\in X\Leftrightarrow |p_1|>|p_2|\Leftrightarrow \varphi(a,b)=\dfrac 12|p_1|$;
(3) 记$D=\left\{(x,y)\mid y\leqslant x-1,y\geqslant \dfrac 14(x+1)^2-\dfrac 54\right\}$,当$(p,q)$取遍$D$时,求$\varphi(p,q)$的最小值(记为$\varphi_{\min}$)和最大值(记为$\varphi_{\max}$).

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每日一题[685]裂项放缩

2011年高考天津卷理科数学第20题(压轴题):

设数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$满足:$b_na_n+a_{n+1}+b_{n+1}a_{n+2}=0$,$b_n=\dfrac{3+(-1)^n}2$,$n\in\mathcal N^*$,且$a_1=2$,$a_2=4$.
(1) 求$a_3,a_4,a_5$的值;
(2) 设$c_n=a_{2n-1}+a_{2n+1}$,$n\in\mathcal N^*$,求证:$\{c_n\}$是等比数列;
(3) 设$S_k=a_2+a_4+\cdots +a_{2k}$,$k\in\mathcal N^*$,求证:$\displaystyle \sum_{k=1}^{4n}\dfrac{S_k}{a_k}<\dfrac 76$($n\in\mathcal N^*$).

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每日一题[684]一条绳上的蚂蚱

2011年高考北京卷理科数学第8题:

设$A(0,0)$,$B(4,0)$,$C(t+4,4)$,$D(t,4)$($t\in\mathcal R$).记$N(t)$为平行四边形$ABCD$内部(不包含边界)的整点的个数,其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点,则函数$N(t)$的值域是________.

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