Math173

2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #14

给定有限个正整数满足条件 $T$：每个数都不大于 $7$ 且总和 $S=430$，现将这些数按下列要求分成 $M$ 组，每组数之和不超过 $21$，规定第 $1$ 组先选择数字，使得选择的数字之和尽可能的大，记和为 $S_1$，第 $2$ 组数字在余下的数中选择，使得选择数字之和尽可能的大，记和为 $S_2$，如此继续下去 $\cdots\cdots$，设第 $i$ 组数字之和为 $S_i$，其中 $i\in\{1,2,\cdots,M\}$，对任意满足条件 $T$ 的有限个正整数，则 $M$ 的最大值为_____．

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2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #13

已知函数 $f(x)=x^3+a x^2+b$，$a,b\in\mathbb R$．若 $x\in[0,1]$ 时，函数 $f(x)$ 有最大值为 $1$，最小值为 $-1$，则满足条件的 $(a,b)=$ _____．

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2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #11

已知曲线 $C:(x-y)^2+\lambda(y-1)^2=5$，$\lambda\in\mathbb R$，则下列选项正确的是（       ）

A．存在 $\lambda\in\mathbb R$，使得曲线 $C$ 为圆

B．对任意 $\lambda\in\mathbb R$，曲线 $C$ 都关于点 $(1,1)$ 中心对称

C．当 $\lambda=1$ 时，$x\in[1-\sqrt{10},1+\sqrt{10}]$

D．当 $\lambda=-1$ 时，直线 $y=\dfrac{x+1}2$ 是曲线 $C$ 的一条渐近线

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2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #19

双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的一个顶点在直线 $l: y=x+1$ 上，且其离心率为 $\sqrt 5$．

1、求双曲线 $E$ 的标准方程；

2、若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点．已知点 $T$ 在直线 $l$ 上，且过点 $T$ 恰好可作双曲线 $E$ 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 $P$ 和 $M$．

① 设点 $T$ 的横坐标为 $t$，求 $t$ 的取值范围；

② 设直线 $TP$ 和直线 $TM$ 分别与直线 $x=-1$ 交于点 $Q$ 和点 $N$，证明：直线 $PN$ 和直线 $MQ$ 的交点在定直线上．

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2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #1 8

有 $A,B,C,D,E,F,G,H$ 八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军．八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知 $B\sim H$ 这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为 $\dfrac 1 2$，$A$ 运动员与其它运动员对决时，$A$ 获胜的概率为 $\dfrac 2 3$，每场对决没有平局，且结果相互独立．

1、求这八名运动员各自获得冠军的概率；

2、求 $B$ 与 $A$ 对决过且最后获得冠军的概率；

3、求 $B$ 与 $C$ 对决过且最后获得冠军的概率．

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2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #17

如图，$\triangle AOD$ 与 $\triangle BOC$ 存在对顶角 $\angle AOD=\angle BOC=\dfrac{\pi}4$，$AC=2$，$BD=2\sqrt 2$，且 $BC=AD$．

1、证明：$O$ 为 $BD$ 中点；

2、若 $\sqrt 5\sin 2 A+\cos B=\sqrt 5$，求 $OC$ 的长．

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2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #16

如图，直角梯形 $ABCD$ 中，$BC\parallel AD$，$AB\perp AD$，$BC=8$，$AD=9$，$AB=2\sqrt 3$，点 $E$ 为线段 $BC$ 不在端点上的一点，过 $E$ 作 $AB$ 的平行线交 $AD$ 于 $F$，将矩形 $ABEF$ 翻折至与梯形 $ECDF$ 垂直，得到六面体 $ABCDEF$． 

1、若 $CF\perp BD$，求 $BE$ 的长；

2、求异面直线 $BC$ 与 $AD$ 所成角余弦值的最小值．

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2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #14

四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AB=AD=\sqrt{10}$，$CB=CD=5$，$\angle BAD=90^{\circ}$，$PB=4$，$PC=3$，$\triangle PBC$ 内部点 $Q$ 满足四棱锥 $Q-ABCD$ 与三棱锥 $Q-PAD$ 的体积相等，则 $PQ$ 长的最小值为_____．

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2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #11

已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，记 $|A|$ 为集合 $A$ 中元素的个数，$\displaystyle\min (A)$ 为集合 $A$ 中的最小元素．若非空数集 $A\subseteq\{1,2,\cdots,n\}$，且满足 $|A|\leqslant\displaystyle\min (A)$，则称集合 $A$ 为 $n$ 阶完美集．记 $a_n$ 为全部 $n$ 阶完美集的个数，下列说法中正确的是（       ）

A．$a_4=7$

B．将 $n$ 阶完美集 $A$ 的元素全部加 $1$，得到的新集合，是 $n+1$ 阶完美集

C．若 $A$ 为 $(n+2)$ 阶完美集，$|A|>1$ 且 $n+2\in A$，满足条件的集合 $A$ 的个数为 $a_{n+1}-n$

D．若 $A$ 为 $(n+2)$ 阶完美集，$|A|>1$ 且 $n+2\notin A$，满足条件的集合 $A$ 的个数为 $a_{n+1}-n-1$

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2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #19

已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足，$a_1,a_2$ 为正整数，$a_n=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$，$n\in \mathbb N^{\ast}$．

1、若 $a_1=1$，$a_3=2$，求 $a_4$；

2、证明：存在 $k\in \mathbb N$，使得 $a_k=0$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 是周期为 $3$ 的数列的必要不充分条件：

3、若 $a_1\neq a_2$，是否存在数列 $\left\{a_n\right\}$，使得 $a_n<2025$ 恒成立？若存在，求出一组 $a_1,a_2$ 的值：若不存在，请说明理由．

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