每日一题[736]不等式证明中的函数构造

证明下列不等式:
(1) 若$\dfrac{1}{\rm e}<x<y<1$,则$\dfrac yx<\dfrac{1+\ln y}{1+\ln x}$;
(2) $\left(\dfrac 2{1^4}+1\right)\left(\dfrac{2}{2^4}+1\right)\cdots \left(\dfrac{2}{n^4}+1\right)<{\rm e}^4$.

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每日一题[735]项圈与丝带(直线与圆)

(2011年江苏卷)设集合\[\begin{split} A&=\left\{(x,y)\mid \dfrac m2\leqslant (x-2)^2+y^2\leqslant m^2,x,y\in\mathbb R\right\},\\ B&=\left\{(x,y)\mid 2m\leqslant x+y\leqslant 2m+1,x,y\in\mathbb R\right\},\end{split} \]若$A\cap B\neq \varnothing$,则实数$m$的取值范围是_________.

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每日一题[734]三角恒等变换与最值

已知$\cos 2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma =1$,$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma =0$,则$\tan\gamma$的最大值为_______.

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每日一题[733]紧密相连

设函数$f(x)={\rm e}^x-ax+a$($a\in\mathbf R$),其图象与$x$轴交于$A(x_1,0)$,$B(x_2,0)$两点,且$x_1<x_2$.
(1) 求$a$的取值范围;
(2) 求证:$f'\left(\sqrt{x_1x_2}\right)<0$;
(3) 设$C$在函数$y=f(x)$的图象上,且$\triangle ABC$为等腰直角三角形,记$\sqrt{\dfrac{x_2-1}{x_1-1}}=t$,求$(a-1)(t-1)$的值.

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每日一题[732]复数的三角形式

已知两个非零复数$x,y$的立方和为$0$,则$\left(\dfrac{x}{x-y}\right)^{2000}+\left(\dfrac{y}{y-x}\right)^{2000}$的值为______.

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练习题集[84]基础练习

1.设函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a,b,c\in\mathcal R$且$a>0$).记$p$:$f(x)$与$f(f(x))$均恰好有两个零点,$q$:$f\left(f\left(-\dfrac b{2a}\right)\right)<0$,则$p$是$q$的_______条件.

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每日一题[731]任意与存在的“纠葛”

设二次函数$f(x)=x^2+bx+c$,若对任意的实数$b$,都存在实数$x\in [1,2]$,使得不等式$|f(x)|\geqslant x$成立,求实数$c$的取值范围.

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每日一题[730]费马点

在$\triangle ABC$中,$AC=2AB=2$,$BC=\sqrt 3$,$P$是$\triangle ABC$内部一点,记$\triangle PAB,\triangle PBC,\triangle PCA$的面积分别为$S_{\triangle PAB},S_{\triangle PBC},S_{\triangle PCA}$,且$$\dfrac{S_{\triangle PAB}}{\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}}=\dfrac{S_{\triangle PBC}}{\overrightarrow {PB}\cdot \overrightarrow {PC}}=\dfrac{S_{\triangle PCA}}{\overrightarrow {PC}\cdot \overrightarrow {PA}},$$则$PA+PB+PC=$________.

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每日一题[729]分析通项

求证:$\dfrac{1}{2\ln 2}+\dfrac{2}{3\ln 3}+\cdots +\dfrac{n-1}{n\ln n}>2\sqrt{n+1}-3$.

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每日一题[728]极值的范围估计

已知函数$f(x)=x^2-2x+1+a\ln x$有两个极值点$x_1,x_2$,且$x_1<x_2$,则(  )
A.$f(x_2)<-\dfrac{1+2\ln 2}4$
B.$f(x_2)<\dfrac{1-2\ln 2}4$
C.$f(x_2)>\dfrac{1+2\ln 2}4$
D.$f(x_2)>\dfrac{1-2\ln 2}4$

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