每日一题[1766]小螃蟹

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,给定三点 $A\left(0,\dfrac 43\right)$,$B(-1,0)$,$C(1,0)$,点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离是该点到直线 $AB,AC$ 的距离的等比中项.

1、求点 $P$ 的轨迹方程.

2、若直线 $l$ 经过 $\triangle ABC$ 的内心(设为 $D$),且与点 $P$ 的轨迹恰好有 $3$ 个公共点,求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

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每日一题[1765]迭代函数

设 $f(x)=x^2+a$,记 $f^{1}(x)=f(x)$,$f^{n}(x)=f(f^{n-1}(x))$($n=2,3,\cdots$),$M$ 为使得对任意正整数 $n$ 均有 $\left|f^{(n)}(0)\right|\leqslant 2$ 成立的实数 $a$ 的取值集合.求证:$M=\left[-2,\dfrac 14\right]$.

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每日一题[1764]格点计算

将号码分别为 $1,2,\cdots,9$ 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球,其号码为 $a$,放回后,乙从袋中再摸出一个球,其号码为 $b$,则使不等式 $a-2b+10>0$ 成立的事件发生的概率等于_______.

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每日一题[1763]有理解

方程组 $\begin{cases}x+y+z=0,\\ xyz+z=0,\\ xy+yz+xz+y=0,\end{cases}$ 的有理数解 $(x,y,z)$ 的个数为_______.

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每日一题[1762]引入参数

求函数 $y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt x$ 的最小值和最大值.

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每日一题[1761]转换条件

设直线 $l:y=kx+m$(其中 $k,m$ 为整数)与椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 交于不同两点 $A,B$,与双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$ 交于不同两点 $C,D$,问是否存在直线 $l$,使得向量 $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=0$,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

答案    $9$条.

解析    题意即弦 $AB$ 的中点与弦 $CD$ 的中点重合,记中点为 $M$.

情形一     $k=0$.此时直线 $l$ 与 $x$ 轴平行,于是 $m^2<12$ 且根据椭圆和双曲线的对称性,必然有弦 $AB$ 的中点与弦 $CD$ 的中点重合,因此 $(k,m)=(0,-3),(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)$ 是符合题意的 $7$ 组解.

情形二     $k\ne 0$ 且 $m=0$.此时直线 $l$ 经过坐标原点 $O$,于是 $k^2<3$ 且根据椭圆和双曲线的对称性,必然有弦 $AB$ 的中点与弦 $CD$ 的中点重合,因此 $(k,m)=(-1,0),(1,0)$ 是符合题意的 $2$ 组解.

情形三     $k\ne 0$ 且 $m\ne 0$.此时根据椭圆和双曲线垂径定理,直线 $OM,AB,CD$ 的斜率 $k_{OM},k_{AB},k_{CD}$ 满足\[\begin{cases} k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac 34,\\ k_{CD}\cdot k_{OM}= 3,\end{cases}\]这与 $k_{AB}=k_{CD}$ 矛盾,因此不存在符合题意的解.

综上所述,符合题意的直线共有 $9$ 条.

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每日一题[1760]层峦叠嶂

一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前 $100$ 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是_______(可以用指数表示).

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每日一题[1759]切割线放缩

已知 $a,b,c$ 皆为正实数,且 $a+b+c=1$,求 $\sqrt{3 a^{2}+1}+\sqrt{3 b^{2}+1}+\sqrt{3 c^{2}+1}$ 的整数部分.

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每日一题[1758]降次

设 $ a,b,c $ 为正实数,证明:$ (a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\geqslant (a+b+c)^3 $.

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每日一题[1757]根式和分式

设 $0\leqslant x,y\leqslant1$,证明:$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leqslant\dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}$.

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