Math173

矩形 $ABCD$ 中，$AB=2\sqrt 3$，$BC=6$，$E,F$ 分别是 $AD,BC$ 上的动点，$CF=2AE$，连接 $EF$，以 $EF$ 为边构造等边三角形 $EFG$，则 $DG$ 的最小值为_______．

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已知函数 $y=f(x)$ 是定义域为 $\mathbb R$ 的周期为 $3$ 的奇函数，且当 $x\in\left(0,\dfrac 32\right)$，$f(x)=\ln (x^2-x+1)$，则方程 $f(x)=0$ 在区间 $[0,6]$ 上的解的个数是_______．

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已知 $a,b,c$ 是三角形三边，证明：$\dfrac{a}{2a+c-b}+\dfrac{b}{2b+a-c}+\dfrac{c}{2c+b-a}\geqslant \dfrac 32$．

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在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$2ab\sin A+(ac-6)\sin 2B=2b^2\sin A\cos C$，$b=2$，则 $\triangle ABC$ 的外接圆面积的最小值为_______．

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如图，等边三角形 $ABC$ 的边长为 $2$，顶点 $B,C$ 分别在 $x$ 轴的非负半轴，$y$ 轴的非负半轴上移动，$M$ 为 $AB$ 的中点，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}$ 的最大值为_______．

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函数 $f(x)=\dfrac{1+\sqrt 3\sin 2x+\cos 2x}{1+\sin x+\sqrt 3\cos x}$ 的值域为_______．

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若关于 $x$ 的方程 $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+{\rm e}^x-x}}}={\rm e}^x-x$ 有实数解，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

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已知函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac 12mx^2-x$．

1、当 $m=4$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程．

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）且 $\ln x_2-2\ln x_1>\dfrac{ax_1}{x_2-x_1}$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值．

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设点 $M$ 是棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱 $AD$ 的中点，点 $P$ 在面 $BCC_1B_1$ 所在的平面内，若平面 $D_1PM$ 分别与平面 $ABCD$ 和平面 $BCC_1B_1$ 所成的锐二面角相等，则点 $P$ 到 $C_1$ 的最小距离是（       ）

A．$\dfrac{2\sqrt 5}5$

B．$\dfrac{\sqrt 2}2$

C．$1$

D．$\dfrac{\sqrt 6}3$

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等腰三角形 $AOB$ 内接于抛物线 $y^2=2px$（$p>0$），$O$ 为抛物线顶点，$OA\perp OB$，$\triangle AOB$ 的面积是 $16$，抛物线的焦点为 $F$，$M$ 为抛物线上的动点，则 $\dfrac{|OM|}{|MF|}$ 的最大值是（       ）

A．$\dfrac{\sqrt 3}3$

B．$\dfrac{\sqrt 6}3$

C．$\dfrac{2\sqrt 3}3$

D．$\dfrac{2\sqrt 6}3$

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