Math173

已知函数 $f(x)=x{\rm e}^x-\dfrac a2x(x+2)-1$（$a\in\mathbb R$）．

1、若 $x=-1$ 为 $f(x)$ 的极小值点，求 $a$ 的取值范围．

2、若 $f(x)$ 有唯一的极值 $-\dfrac{1}{\rm e}-1$，证明：$\forall x\geqslant -1,f(x)+1\geqslant \sin x$．

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已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln (x+1)+1}{x+1}+a$（$a \in \mathbb{R}$）．

1、若 $f(x)$ 只有 $1$ 个零点，求 $a$ 的取值范围．

2、若关于 $x$ 的不等式 $f(x-1)-\mathrm{e}^{x} \geqslant 0$ 有解，求 $a$ 的取值范围．

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已知函数 $f(x)=1-{\rm e}^{x}-x+\sin x+t \ln (1+x)$（$t \in \mathbb{R}$）．

1、当 $t=1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间．

2、当 $t \geqslant 1$ 时，求证：$f(x)<2+\sqrt{2}+t \ln t$．

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在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，已知 $(a+b)(\sin A-\sin B)=c(\sin C+\sin B)$，若角 $A$ 的内角平分线 $A D$ 的长为 $2$，则 $4 b+c$ 的最小值为（       ）

A．$10$

B．$12$

C．$16$

D．$18$

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已知函数 $f(x)=(x-1) \ln x+x^{2}-a x$．

1、当 $a=2$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、当 $x>0$ 时，$f(x) \geqslant x \ln x-{\rm e}^{x}$，求实数 $a$ 的取值范围．

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已知函数 $f(x)=a \ln (1+x)-b x$（$a, b \in \mathbb{R}$）在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x+2 y+1-2 \ln 2=0$．

1、求实数 $a, b$ 的值．

2、若函数 $g(x)=f(x)+\dfrac{t}{2} x^{2}$（$t \geqslant 1$），试讨论函数 $g(x)$ 的零点个数．

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已知函数 $f(x)=x \ln x-3 x$．

1、求 $f(x)$ 的极值．

2、若不等式 $f(x) \geqslant m x^{2}-3 x+\dfrac{2}{m}$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值．

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已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}(a-x)+x+1$．

1、若函数 $f(x)$ 的图象在区间 $[0,1]$ 上存在斜率为零的切线，求实数 $a$ 的取值范围．

2、当 $a=1$ 时，判断函数 $f(x)$ 零点的个数，并说明理由．

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已知 $\tan \alpha \tan \beta=1$，则 $\cos \alpha \cos \beta$ 的最大值为（       ）

A．$\dfrac{1}{2}$

B．$\dfrac{1}{4}$

C．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

D．$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

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若将函数 $y=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}{4}\right)$（$\omega>0$）的图像向右平移 $ \dfrac{\pi}{3} $ 个单位长度后，与函数 $ y=\cos \left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的图像重合，则 $ \omega$ 的最小值是（       ）

A．$\dfrac{21}{4}$

B．$\dfrac{19}{4}$

C．$\dfrac{17}{4}$

D．$\dfrac{15}{4}$

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