Math173

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+2}+(-1)^na_n=3n-1$，前 $16$ 项和为 $540$，则 $a_1=$_______．

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已知 $A,B,C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点，圆 $O_1$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆．若圆 $O_1$ 的面积为 $4\pi$，$AB=BC=AC=OO_1$，则球 $O$ 的表面积为（       ）

A．$64\pi$

B．$48\pi$

C．$36\pi$

D．$32\pi$

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已知 $A,B$ 分别为椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a>1$）的左、右顶点，$G$ 为 $E$ 的上顶点，$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{GB}=8$．$P$ 为直线 $x=6$ 上的动点，$PA$ 与 $E$ 的另一交点为 $C$，$PB$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$．

1、求 $E$ 的方程．

2、证明：直线 $CD$ 过定点．

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如图，在三棱锥 $P-ABC$ 的平面展开图中，$AC=1$，$AB=AD=\sqrt 3$，$AB\perp AC$，$AB\perp AD$，$\angle CAE=30^\circ$，则 $\cos\angle FCB=$_______．

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若 $2^a+{\log_2}a=4^b+2{\log_4}b$，则[[nn]]

A．$a>2b$

B．$a<2b$

C．$a>b^2$

D．$a<b^2$

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已知 $a,b,c$ 为正数，满足如下两个条件： \[\begin{cases} a+b+c=32, \\ \dfrac{b+c-a}{bc}+\dfrac{c+a-b}{ca}+\dfrac{a+b-c}{ab}=\dfrac{1}{4}.\end{cases}\] 证明：以 $\sqrt a, \sqrt b, \sqrt c$ 为三边长可构成一个直角三角形．

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已知实数 $a,b,c$ 满足\[\begin{cases} abc=-1,\\ a+b+c=4,\\ \dfrac {a}{a^2-3a-1}+\dfrac {b}{b^2-ba-1}+\dfrac {c}{c^2-3c-1}=\dfrac 4 9,\end{cases}\]则 $a^2+b^2+c^2=$ _______．

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若方程 $x^2+2px-3p-2=0$ 的两个不相等的实数根 $x_1,x_2$ 满足 $x_1^2+x_1^3=4-(x_2^2+x_2^3)$，则实数 $p$ 的所有可能的值之和为（       ）

A．$0$

B．$-\dfrac 3 4$

C．$-1$

D．$-\dfrac 5 4$

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若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-34 x+34 k-1=0$ 至少有一个正整数根，求满足条件的正整数 $k$ 的值．

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若正数 $a,b$ 满足 $a b=1$，求 $M=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+2 b}$ 的最小值．

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