每日一题[1127]视变为常

已知 $f(x)=x\ln x+(1-x)\ln (1-x)$.

(1)求 $f(x)$ 的最小值;

(2)若 $a+b+c=1$,$a,b,c\in (0,1)$,求证:$a\ln a+b\ln b+c\ln c\geqslant (a-2)\ln 2$.

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每日一题[1126]翻折问题

如图,已知矩形 $ABCD$ 中,$AB=x$,$BC=2$,$E,F$ 分别是线段 $AB,AD$ 的中点,$G,H$ 分别是线段 $CD,BC$ 上的动点(包括端点).现将 $\triangle AEF$ 沿 $EF$ 翻折,使平面 $AEF\perp$ 平面 $BCDF$,同时将 $\triangle CGH$ 沿 $GH$ 翻折,若能使 $A,C$ 重合,则 $x$ 的最大取值为_______.

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每日一题[1125]约束条件下的最值

已知 $a,b$ 都是正数,$\triangle ABC$ 在平面直角坐标系 $xOy$ 内,以两点 $A(a,0)$ 和 $B(0,b)$ 为顶点的正三角形的第三个顶点 $C$ 在第一象限内.(1)若 $\triangle ABC$ 能包含于正方形 $D=\{(x,y)\mid 0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 1\}$ 内,试求变量 $a,b$ 的约束条件,并在直角坐标系 $aOb$ 内画出这个约束条件表示的平面区域;
(2)当 $(a,b)$ 在第 $(1)$ 小题所得的约束条件内移动时,求 $\triangle ABC$ 面积的最大值,并求此时 $(a,b)$ 的值.

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每日一题[1124]极值点偏移

已知函数 $f(x)=x\ln x+x^2-ax+2$,其中 $a$ 是实数.若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$.

(1)求证:$x_1+x_2>2$;

(2)求证:$x_1\cdot x_2>1$.

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每日一题[1123]三角形的内心

已知 $I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心,$AB=2$,$AC=3$,若 $\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$,$2x+3y=m$,则 $m$ 的取值范围是________.

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每日一题[1122]约束条件处理

已知函数 $f(x)=\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac 12ax^2+2bx+c$ 在区间 $(0,1)$ 上有极大值,在区间 $(1,2)$ 上有极小值,若 $(a+3)b\leqslant t$ 恒成立,则 $t$ 的取值范围是______.

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每日一题[1121]用导数证明函数不等式

已知函数 $f(x)=\ln x-kx+k$.

(1)若 $f(x)\geqslant 0$ 有唯一解,求实数 $k$ 的值;

(2)求证:当 $a\leqslant 1$ 时,$x\left(f(x)+kx-k\right)<{\rm e}^x-ax^2-1$;

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每日一题[1120]根式函数的值域

函数 $y=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-3x}$ 的值域是_______.

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每日一题[1119]对数平均不等式

设函数 $f(x)=4\ln x-\dfrac 12ax^2+(4-a)x$,其中 $a\in\mathbb R$.
(1)讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2)若函数 $f(x)$ 存在极值,对于任意的 $0<x_1<x_2$,存在正实数 $x_0$,使得 $$f(x_1)-f(x_2)=f'(x_0)\cdot (x_1-x_2),$$试判断 $x_1+x_2$ 与 $2x_0$ 的大小关系并给出证明.

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每日一题[1118]统一“度量衡”

已知函数 $f(x)=\begin{cases} 2x^2-x,&x\leqslant 0,\\ -x^2+x,&x>0,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m$ 有 $3$ 个实数解 $x_1,x_2,x_3$,且 $x_1<x_2<x_3$,则实数 $m$ 的取值范围 $D$ 是_______,当 $m$ 在 $D$ 内变化时,$x_1+x_2x_3$ 的取值范围是_______.

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