勘误!勘误!勘误!(1月 15 日更新)

感谢读者朋友的批评指正,将勘误汇总如下,定期汇总为pdf供大家下载(请注意版次和时间).

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每日一题[1529]方程计算

如图,在 $\triangle ABD$ 中,点 $C$ 在 $AD$ 上,$\angle ABC= \dfrac {\pi}2$,$\angle DBC= \dfrac {\pi}6$,$AB=CD=1$,则 $AC=$_______.

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每日一题[1528]垂径定理

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2} {a^2}+\dfrac{y^2} {b^2}=1$($a>b>0$)的离心率为 $\dfrac{\sqrt3} 2$,并且过点 $P(2,-1)$.

1、求$C$ 的方程.

2、设点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上,且 $PQ$ 与 $x$ 轴平行,过 $P$ 点作两条直线分别交椭圆 $C$ 于点 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$.若直线 $PQ$ 平分 $\angle APB$,求证:直线 $AB$ 的斜率是定值,并求出这个定值.

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每日一题[1527]化齐次联立

已知抛物线 $C:y^2=2px$($p>0$)和动直线 $ l:y=kx+b $($ k,b $ 是参变量,且 $ k\neq 0 $,$ b\neq 0 $)相交于 $ A(x_1,y_1)$,$ B(x_2,y_2)$ 两点,平面直角坐标系的原点为 $ O $,记直线 $ OA,OB $ 的斜率分别为 $ k_{OA},k_{OB} $,若 $ k_{OA}\cdot k_{OB}=\sqrt3 $ 恒成立,则当 $ k $ 变化时直线 $ l$ 恒经过的定点为(       )

A.$\left(-\sqrt3p,0\right)$

B.$\left(-2\sqrt3p,0\right)$

C.$\left(-\dfrac{\sqrt3p} 3,0\right)$

D.$\left(-\dfrac{2\sqrt3p} 3,0\right)$

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每日一题[1526]到角与数量积

已知 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 为平面上的单位向量,$\left|\overrightarrow c\right|=\sqrt{26}$,且 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c=1$,则 $\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|+\left|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c\right|$ 的最大值为_______.

答案       $\sqrt{29}$.

解析       如图,$A,B$ 是单位圆 $O$ 上的点,$OC=\sqrt{26}$,$OA\perp AC$,$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a$,$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$,$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow c $.

设 $ OC $ 到 $ OB $ 的角为 $ \theta $,则 $ OA $ 到 $ OB $ 的角为 $ \theta-\arctan 5$,进而\[\begin{split} \left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|+\left|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c\right|&=|\cos(\theta-\arctan 5)|+\sqrt{26}\cdot |\cos\theta|\\ &=\dfrac{\left|\cos\theta+5\sin\theta\right|+26|\cos\theta|}{\sqrt{26}}\\ &\leqslant \dfrac{27|\cos\theta|+5|\sin\theta|}{\sqrt{26}}\\ &\leqslant \dfrac{\sqrt{27^2+5^2}}{\sqrt{26}}\\ &=\sqrt{29},\end{split}\]等号当 $\theta=\arctan\dfrac{5}{27}$ 时取得,因此所求最大值为 $\sqrt{29}$.

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每日一题[1525]调和线束

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$.过点 $D(1,0)$ 且不经过点 $M(1,1)$ 的直线与椭圆交于 $P,Q$ 两点,直线 $MQ$ 与直线 $x=4$ 交于 $E$ 点,直线 $PE$ 与直线 $MD$ 交于 $N$ 点.求证:$\triangle EMN$ 的面积为定值.

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每日一题[1524]对数平均不等式

设函数 $f(x)=x-\dfrac{2}{x}-a\ln x$($a \in \mathbb{R}$,$a>0$).

1、讨论 $f(x)$ 的单调性.

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1$ 和 $x_2$,记过点 $A(x_1,f(x_1))$,$B(x_2,f(x_2)$ 的直线的斜率为 $k$,问:是否存在 $a$,使得 $k=2-a$?若存在,求出 $a$ 的值,若不存在,请说明理由.

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每日一题[1523]狐狸尾巴藏不住

在 $\triangle ABC$ 中,已知 $AB=4$,$AC=3$,$P$ 是边 $BC$ 的垂直平分线上的一点,则 $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow {AP}=$ _______.

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每日一题[1522]必要条件探路

已知不等式 $3\sin ^2x-\cos ^2x+4a\cos x+a^2 \leqslant 31$ 对一切 $x \in \mathbb R$ 恒成立,求实数 $a$ 的取值范围.

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每日一题[1521]解不等式

设命题 $p$:关于 $x$ 的不等式 $a_1x^2+b_1x+c_1>0$ 与 $a_2x^2+b_2x+c_2>0$ 的解集相同;命题 $q$:$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$;则命题 $q$ 是命题 $p$ 的(       )

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

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每日一题[1520]构造平方

已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是等差数列,其前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $,若 ${S_4} = 10$,${S_{13}} = 91$.

1、求 ${S_n}$.

2、若数列 $ \left\{M_{n}\right\} $ 满足条件:${M_1} = {S_{t_1}}$,当 $n \geqslant 2$ 时,${M_n} = {S_{t_n}} - {S_{{t_{n - 1}}}}$,其中数列 $\left\{ {t_n} \right\}$ 单调递增,且 ${t_1} = 1$,${t_n} \in {\mathbb N^ * }$.

① 试找出一组 ${t_2},{t_3}$,使得 $M_2^2 = {M_1} \cdot {M_3}$;

② 证明:对于数列 $\left\{ {a_n} \right\}$,一定存在数列 $\left\{ {t_n} \right\}$,使得数列 $\left\{ {M_n} \right\}$ 中的各数均为一个整数的平方.

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