Math173

已知 $f(x),g(x)$ 都是定义在 $\mathbb R$ 上的可导函数，且 $f(x+3)=g(-x)+4$，$f'(x)+g'(1+x)=0$，函数 $g(2x+1)$ 为偶函数，则下列说法正确的有（       ）

A．$g'(1)=0$

B．函数 $f(x)$ 的图象关于 $x=2$ 对称

C．函数 $f'(x)$ 的图象关于 $x=1$ 对称

D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f'(k)g'(k)=1$

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如图，以 $AI$ 为直径的半圆上有点 $B,D,F,H$，直线 $AI$ 上有点 $C,E,G$，满足 $\triangle ABC,\triangle CDE,\triangle EFG,\triangle GHI$ 是相似的等腰三角形，则 $\angle ABC=$_______．

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已知 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的定义域均为 $\mathbb R$，且 $f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)$，$f(-2)=f(1)\ne 0$，$g(-1)=g(2)$，则下列说法正确的有（       ）

A．$g(0)=1$

B．函数 $f(2x-1)$ 的图象关于点 $\left(\dfrac 12,0\right)$ 对称

C．$g(1)+g(-1)=1$

D．若 $f(1)=\dfrac{\sqrt 3}2$，则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f(k)=\dfrac{\sqrt 3}2$

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如图，半圆 $O$ 的直径 $AB=2$，$C$ 为圆弧上（不包含端点）的动点，点 $M,N$ 分别在以线段 $AC,BC$ 为直径的半圆弧上运动，则 $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{OC}$ 的最大值为_______．

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已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}x+\dfrac 1x+x$ 的图象上有 $3$ 个点 $M,N,P$，横坐标分别为 $x_1,x_2,1$．

1、 求函数 $f(x)$ 在 $P$ 处的切线 $l$ 的方程．

2、若直线 $MN\parallel l$，求证：$2<\dfrac 1{x_1}+\dfrac{1}{x_2}<{\rm e}$．

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已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax$ 有两个零点 $x_1,x_2$，求证：$\left|\ln\dfrac{x_1}{x_2}\right|<\sqrt{a^2-2a-1}\cdot x_1\cdot x_2$．

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已知 $a=\left(\dfrac{9}{8}\right)^{\frac{10}{9}}$，$b={\log _8 }9$，$ c={\log _9} 10$，则 $a, b, c$ 的大小关系为（       ）

A．$c>b>a$

B．$b>a>c$

C．$a>b>c$

D．$a>c>b$

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已知函数 $f(x)=-\dfrac{\ln^2 x}{2}+x+\ln x-1$，$g(x)=(x-1) \mathrm{e}^x-\dfrac{a x^2}{2}+a^2$，$a<1$．

1、判断 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $g(x)$ 有唯一零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} x^2-a x-1$（$a \in \mathbb{R}$）．

1、若不等式 $f(x) \geqslant 0$ 在 $x \in[0,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

2、若 $x>0$，求证：$\left(\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} x^2+1\right) \ln (x+1)>2 x$．

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