Math173

对于函数 $f(x)$ 与实数 $\mathbb{R}$，若存在 $b \in \mathbb{R}$ 使得 $f(x+a)-f(x)=f(x+b)$ 恒成立，则称 $f(x)$ 具有性质 $D(a)$．

1、若 $f(x)=\sin x$ 具有性质 $D(a)$，求 $a$ 的所有可能取值；

2、判断是否存在 $a \in \mathbb{R}$，使得 $f(x)=2^x+3^x$ 具有性质 $D(a)$，并说明理由；

3、证明：不存在定义域为 $\mathbb{R}$ 且同时满足以下性质的函数 $f(x)$：

① 存在唯一 $a \in \mathbb{R}$ 使得 $f(x)$ 具有性质 $D(a)$；

② 对任意 $q>0$ ，均有 $g(x)=f(x) q^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调（不一定严格）．

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2026年3月广东省一模数学试卷#19

甲社区有 $n$ 个女生和 $n$ 个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有 $n$ 个女生 $g_1,g_2,\cdots,g_n$ 和 $2 n-1$ 个男生 $b_1,b_2,\cdots,b_{2 n-1}$，其中女生 $g_i$（$i=1,2,\cdots,n$）认识男生 $b_j$（$j=1,2,\cdots,2 i-1$），但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出 $m$（$m=1,2,\cdots,n$）队选手参加社区比赛，每队选手均为 $2$ 人．

1、若 $n=3$，$m=1$，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率；

2、若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的 $m$ 队的不同的选法种数为 $A_n(m)$ 和 $B_n(m)$．

① 证明递推公式：当 $2\leqslant m\leqslant n-1$ 时，有\[A_n(m)=A_{n-1}(m)+(2 n-m) A_{n-1}(m-1),\]并求 $A_n(m)$；

② 若乙社区将选出的 $m$ 个男生和 $m$ 个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率．

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2026年3月广东省一模数学试卷#18

设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的离心率为 $2$，其左、右焦点分别是 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于点 $M,N$．当 $MN$ 与 $x$ 轴垂直时，$|MN|=6$．

1、求双曲线 $C$ 的标准方程；

2、求 $\left|MF_2\right|\cdot\left|NF_2\right|$ 的最小值；

3、记 $\triangle F_1 MN$ 的内切圆 $P$ 与双曲线 $C$ 的一个公共点为 $Q$，双曲线 $C$ 的左顶点为 $A$，证明：$\angle APQ=2\angle F_2 PQ$．

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2026年3月广东省一模数学试卷#17

设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $A\leqslant B$，记 $m=\dfrac{\sin A+\cos A\tan B}{\sin C+\cos C\tan B}$．

1、若 $A,B,C$ 成等差数列，求 $m$ 的最小值；

2、若 $a,b,c$ 成等比数列，求 $m$ 的取值范围．

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2026年3月广东省一模数学试卷#14

如图，$O$ 为坐标原点，$F_1,F_2$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的两个焦点，过 $F_1,F_2$ 分别作椭圆 $C$ 的切线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $H_1,H_2$．当 $OH_1\perp OH_2$ 时，$\triangle OH_1 H_2$ 的面积为 _____．

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2026年3月广东省一模数学试卷#11

在半径为定值的球 $O$ 的表面上有四个不共面的点 $A,B,C,D$，且 $AB$ 为球 $O$ 的直径，已知 $\angle AOC$ 和 $\angle COD$ 的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体 $ABCD$ 存在的情况下，使得四面体 $ABCD$ 体积有唯一值的条件可以是（       ）

A．$AD$ 的长

B．$\angle BCD$ 的大小

C．$CD$ 与平面 $ABC$ 所成角的大小

D．二面角 $C-AB-D$ 的大小

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2026年3月广东省一模数学试卷#8

已知曲线 $C:\left(x^2-y\right)\cdot 3^{x^2-y}=81$，则曲线 $C$ 上的点到原点距离的最小值为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt{11}}2$

B．$2$

C．$2\sqrt 2$

D．$\sqrt{22}$

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2026年3月广东省一模数学试卷#7

如图，正方体 $ABCD-A_1 B_1C_1 D_1$ 的棱长为 $4$，$ P$ 为正方形 $BGC_1 B_1$ 的中心，$Q$ 为棱 $DD_1$ 的中点，过点 $A,P,Q$ 的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为[[nn]]

A．$16$

B．$18$

C．$\dfrac{64}3$

D．$24$

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2026年3月山东济南市一模数学试卷#19

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，导函数 $f^{\prime}(x)=\dfrac{\sin x}{x}$．将 $f(x)$ 所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列 $\left\{x_n\right\}, n \in \mathbb{N}^{\ast}$．

1、若 $x \in\left(x_n, x_{n+1}\right)$，比较 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 与 $\left|f^{\prime}\left(2 x_{n+1}-x\right)\right|$ 的大小；

2、求证：数列 $\left\{f\left(x_{2 n-1}\right)\right\}$ 为递减数列，数列 $\left\{f\left(x_{2 n}\right)\right\}$ 为递增数列；

3、若 $k$ 为正整数，且对任意的 $a, b \in[\pi,+\infty)$，都有 $\left|f\left(a\right)-f\left(b\right)\right|<k$，求 $k$ 的最小值．

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