每日一题合集(1-1001)出版啦

感谢叶子和浙大社陈海权老师的大力协助!去天猫搜“一千零一题”即得:

猛击此处即为直达链接~

每日一题1001题序

继续阅读

发表在 每日一题 | 留下评论

每日一题[1188]找切线

已知实数 $a,b$ 满足 $\ln (b+1)+a-3b=0$,实数 $c,d$ 满足 $2d-c-\sqrt 5=0$,则 $(a-c)^2+(b-d)^2$ 的最小值为_______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1187]抛物线的光学性质

已知圆 $C:(x-1)^2+y^2=r^2$($r>1$).设 $A$ 为圆 $C$ 与 $x$ 轴负半轴的交点,过点 $A$ 作圆 $C$ 的弦 $AM$,并使弦 $AM$ 的中点恰好落在 $y$ 轴上.

1、求点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程;

2、延长 $MC$ 交曲线 $E$ 于点 $N$,曲线 $E$ 在点 $N$ 处的切线与直线 $AM$ 交于点 $B$,试判断以 $B$ 为圆心,线段 $BC$ 长为半径的圆与直线 $MN$ 的位置关系,并证明你的结论.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 , | 留下评论

每日一题[1186]指对混合不等式

求证:$x^x>4\ln x$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 一条评论

每日一题[1185]数列中的不定方程

在数列 $\{a_n\}$ 中,已知 $a_1=\dfrac 25$,$a_{n+1}=\dfrac{2a_n-4}{9a_n-10}$,$n\in\mathbb N^{\ast}$.

1、令 $b_n=\dfrac{2a_n}{2-3a_n}$,求证:数列 $\{b_n\}$ 成等差数列;

2、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式;

3、是否存在正整数 $k,m,n$($1\leqslant k<m<n$),使 $a_k,a_m,a_n$ 成等比数列?若存在,请写一组 $(k,m,n)$ 的值,若不存在,请证明你的结论.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1184]三角代换

已知 $x,y,z>0$,且 $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$,求证:$\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{1+z}}\geqslant \sqrt3$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 5条评论

每日一题[1183]化齐次

若正实数 $a,b$ 满足 $a+2b=2$,则 $\dfrac1{a^2}+\dfrac a{2b^2}$ 的最小值为_______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 留下评论

每日一题[1182]余弦“聚变”

已知$x$是锐角,求证:$\tan(\sin x)>\sin (\tan x)$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1181]椭圆的内准圆

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$,过点 $P(0,3)$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $A,B$ 两点,以线段 $AB$ 为直径作圆,试问该圆能否经过原点?若能,求出以 $AB$ 为直径的圆过原点时直线 $l$ 的方程;若不能,请说明理由.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1180]第二计划

已知椭圆 $C$ 的中心在原点,焦点在 $x$ 轴上,点 $F$ 是椭圆 $C$ 的右焦点,直线 $l:x=4$ 是椭圆 $C$ 的右准线,$F$ 到直线 $l$ 的距离等于 $3$.

1、求椭圆 $C$ 的方程;

2、点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点,$PM\perp l$,垂足为 $M$,是否存在点 $P$,使得 $\triangle FPM$ 为等腰三角形?若存在,求出 $P$ 的坐标;若不存在请说明理由.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 5条评论

每日一题[1179]整数有多少?

记 $f(n)$ 是最接近 $\sqrt n$ 的整数,若\[\dfrac1{f(1)}+\dfrac 1{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}=4034 ,\]则正整数 $ m$ 的值是_______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论