每日一题[858]共线时的长度转化

如图,已知$A,B$两点在椭圆$C:\dfrac{{{x^2}}}{m} + {y^2} = 1$($m > 1$),直线$AB$上两个不同的点$P,Q$满足$\left| {AP} \right|:\left| {PB} \right| = \left| {AQ} \right|:\left| {QB} \right|$,且$P$点的坐标为$\left( {1, 0} \right)$,求点$Q$的轨迹方程.

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每日一题[857]举一反三

设$\triangle ABC$的三边$a,b,c$ 上的高分别为$h_a,h_b,h_c$ ,满足$3\cdot\dfrac{a}{{{h_a}}} - \dfrac{b}{{{h_b}}} + 6\cdot\dfrac{c}{{{h_c}}} = 6$.

(1)若$\triangle ABC$的面积为$S$,试证$S = \dfrac{1}{{12}}(3{a^2} - {b^2} + 6{c^2})$;

(2)用$b,c$ 表示$\sin \left( {A + \dfrac{\pi}{4}} \right)$,并求$A$的大小;

(3)根据上述解题过程所得到的$\triangle ABC$结论,请你设计一个与三角形有关的类似结论,并证明你所给的结论.

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每日一题[856]数列与不等式

数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$满足条件:${a_1} = 1$,${a_n} = 1 + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}$($n \geqslant 2$).试证明:

(1)$1 \leqslant {a_n} \leqslant 2$,$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$;

(2)$\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{{\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right|}}{{\left| {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right|}} \leqslant \dfrac{1}{2}$,$n \geqslant 2$且$n \in {{\mathbb {N}}^ * }$.

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每日一题[855]前n项的积

已知等比数列$\{a_n\}$的首项${a_1} = 1025$,公比$q = - \dfrac{1}{2}$,求${\Pi _n} = {a_1}{a_2} \cdots {a_n}$的最大值.

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每日一题[854]三个角度看问题

已知$f\left( x \right)$为一元二次函数,且$a,f\left( a \right),f\left( {f\left( a \right)} \right),f\left( {f\left( {f\left( a \right)} \right)} \right)$为正项等比数列,求证:$f\left( a \right) = a$.

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每日一题[853]函数的不动点

对于函数$f(x)$,方程$f(x)=x$的根称为$f(x)$不动点.

(1)证明:若$f\left( {f\left( x \right)} \right)$有唯一不动点,则$f\left( x \right)$也有唯一不动点.

(2)已知函数$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$($a \ne 0$),且$f\left( x \right) $没有不动点.那么$f\left( {f\left( x \right)} \right) $是否有不动点?证明你的结论.

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每日一题[852]直线参数方程的应用

已知椭圆$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$,过椭圆左顶点$A\left( -a,0 \right)$的直线$l$与椭圆交于$Q$,与$y$轴交于$R$,过原点与$l$平行的直线与椭圆交于$P$.求证:$AQ$,$\sqrt{2}OP$,$AR$成等比数列.

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每日一题[851]各显身手

有编号为①,②的$2$个红球,编号为③,④的$2$个黑球,编号为⑤,⑥,⑦的$3$个白球.将这$7$个球放入编号为$A,B,C,D,E$的$5$个盒中,要求每个盒中放$1$个或$2$个球,而且同色球不能放入同一盒中,则不同的放置方式共有______种.

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级数收敛

设$a_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac 1k-\ln n$.

(1) 求证:$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}a_n$存在;

(2) 记$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}a_n=C$,讨论级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n-C\right)$的敛散性.

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每日一题[850]指数函数遇到二次函数

已知$f(x)=x{\rm e}^x+ax^2-x$,当$x\geqslant 0$时,$f'(x)-f(x)\geqslant (4a+1)x$恒成立,求实数$a$的取值范围.

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