勘误!勘误!勘误!(11月4日更新)

感谢读者朋友的批评指正,将勘误汇总如下,定期汇总为pdf供大家下载(请注意版次和时间).

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每日一题[1402]代数手段

已知向量 $a,b$ 满足 $|a+b|+2|a-b|=15$,$|a|=3$,则 $|b|$ 的最大值为[[nn]];$|b|$ 的最小值为_______.

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每日一题[1401]直译条件

已知点 $P$ 是正三角形 $ABC$ 内(含边界)的一动点,$P$ 到正三角形 $ABC$ 三边 $AB,BC,CA$ 的距离分别为 $h_1,h_2,h_3$,若 $\sqrt{h_1}+\sqrt{h_2}=\sqrt{h_3}$,求动点 $P$ 的轨迹.

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每日一题[1400]切比雪夫多项式

已知函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,a\neq 0$,若对任意 $x\in [-1,1]$,$|f(x)|\leqslant 1$ 恒成立,求 $|a|+|b|+|c|+|d|$ 的最大值.

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每日一题[1399]高次不等式

已知数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=\dfrac{nx}{(x+1)(2x+1)\cdots (nx+1)}$($n\in\mathbb N^{\ast}$).若 $a_1+a_2+\cdots+a_{2018}<1$,则实数 $x$ 可以等于(       )

A.$-\dfrac 23$

B.$-\dfrac 5{12}$

C.$-\dfrac{13}{48}$

D.$-\dfrac{11}{60}$

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每日一题[1398]佛剑分说

已知 $a,b,c>0$,且 $ab+bc+ca=1$,求证:$\dfrac{2}{a^2+1}+\dfrac{2}{b^2+1}+\dfrac{3}{c^2+1}\leqslant \dfrac{16}3$.

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每日一题[1397]柯西去根号

已知 $x\geqslant 0$,则 $m=\dfrac{\sqrt 2x+2\sqrt{x^2+1}}{2x+1}$ 的最小值为_______.

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每日一题[1396]三倍角公式

$\arctan\left((\sin^263^\circ-3\sin^227^\circ)(\sin^29^\circ-3\cos^2171^\circ)\right)=$ _______.

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每日一题[1395]二项式

将 $n$($n\in\mathbb N^{\ast}$)对应的二进制数中 $0$ 的个数记为 $f(n)$,例如 $4=100_{(2)}$,于是 $f(4)=2$,则 $2^{f\left(2^{2018}\right)}+2^{f\left(2^{2018}+1\right)}+2^{f\left(2^{2018}+2\right)}+\cdots+2^{f\left(2^{2019}-1\right)}=$ _______.

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每日一题[1394]构造方程

观察下列等式: \[\begin{split}\left(\sin\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2{\mathrm \pi} }{3}\right)^{-2}&=\dfrac{4}{3}\times 1\times 2,\\ \left(\sin\dfrac{\mathrm \pi} {5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2{\mathrm \pi} }{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3{\mathrm \pi} }{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{4{\mathrm \pi} }{5}\right)^{-2}&=\dfrac{4}{3}\times 2\times 3,\\ \left(\sin\dfrac{\mathrm \pi} {7}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2{\mathrm \pi} }{7}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3{\mathrm \pi} }{7}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{6{\mathrm \pi} }{7}\right)^{-2}&=\dfrac{4}{3}\times 3\times 4,\\ \left(\sin\dfrac{\mathrm \pi} {9}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2{\mathrm \pi} }{9}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3{\mathrm \pi} }{9}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{8{\mathrm \pi} }{9}\right)^{-2}&=\dfrac{4}{3}\times 4\times 5,\\ &\cdots\cdots\end{split}\] 照此规律, $\left(\sin\dfrac{\mathrm \pi} {2n+1}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2{\mathrm \pi} }{2n+1}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3{\mathrm \pi} }{2n+1}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{2n{\mathrm \pi} }{2n+1}\right)^{-2}=$ _______.

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每日一题[1393]无需放缩

求证:$x\ln x+2<\dfrac{{\rm e}^x}{x}$.

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