每日一题[2240]光学性质
过抛物线 $y^2=2x$ 上一点 $P$ 作切线 $l$，过 $O$ 点作 $l$ 的垂线交 $PF$ 于 $Q$，$|OQ|=\dfrac 35$，则 $\triangle OFQ$ 的面积是_______．
每日一题[2239]大浪淘沙
若存在正整数 $n$，使得 $3^m\mid \left(1!+2!+\cdots+n!\right)$，则正整数 $m$ 的最大值是_______．
每日一题[2238]置换放缩
设 $a$ 为正实数，函数 $f(x)=a {\rm e}^{a x}-\sqrt{x}$ 存在零点 $x_{1}, x_{2}$（$x_{1}<x_{2}$），且存在极值点 $x_{0}$．
1、当 $a=1$ 时，求曲线 $f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程．
2、求 $a$ 的取值范围，并证明：$2 x_{1}+3 x_{0}>3$．
每日一题[2237]四三二一大法
已知直线 $B C$ 垂直单位圆 $O$ 所在的平面，且直线 $B C$ 交单位圆于点 $A$，$A B=B C=1$，$P$ 为单位圆上除 $A$ 外的任意一点，$l$ 为过点 $P$ 的单位圆 $O$ 的切线，则（ ）
A．有且仅有一点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最小值
B．有且仅有两点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最小值
C．有且仅有一点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最大值
D．有且仅有两点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最大值
每日一题[2236]集中条件
已知正六棱雉 $V-A B C D E F$，$P$ 是侧棱 $V C$ 上一点（不含端点），记直线 $P B$ 与直线 $D E$ 所成角为 $\alpha$，直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\beta$，二面角 $P-C D-F$ 的平面角为 $\gamma$，则（ ）
A．$\beta<\gamma$，$\alpha<\gamma$
B．$\beta<\alpha$，$\beta<\gamma$
C．$\beta<\alpha$，$\gamma<\alpha$
D．$\alpha<\beta$，$\gamma<\beta$
每日一题[2235]消元
已知 $-\dfrac{\pi}{2}<\beta-\alpha<\dfrac{\pi}{2}$，$\sin \beta-2 \cos \alpha=1$，$2 \sin \alpha+\cos \beta=\sqrt{2}$，则 $\sin \left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)=$ （ ）
A．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B．$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
C．$\pm \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
D．$\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
每日一题[2234]漏网之鱼
已知函数 $f(x)=\sin^2{\dfrac {\omega x}2}+\dfrac 12\sin \omega x-\dfrac 12(\omega>0)$，$x\in \mathbb R$．若 $f(x)$ 在区间 $(\pi,2\pi)$ 内没有零点，则 $\omega$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(0,\dfrac 18\right]$
B．$\left(0,\dfrac 14\right]\cup \left[\dfrac 58,1\right)$
C．$\left(0,\dfrac 58\right]$
D．$\left(0,\dfrac 18\right]\cup \left[\dfrac 14,\dfrac 58\right]$
每日一题[2233]分离变量
已知函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}\dfrac{1}{x+1}-3,&x\in\left(-1,0\right], \\ x,&x\in\left(0,1\right], \end{cases}$ 且 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-mx-m$ 在 $\left(-1,1\right]$ 内有且仅有两个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(-\dfrac94,-2\right]\cup \left(0,\dfrac12\right]$
B．$\left(-\dfrac{11}{4},-2\right]\cup \left(0,\dfrac12\right]$
C．$\left(-\dfrac94,-2\right]\cup \left(0,\dfrac23\right]$
D．$\left(-\dfrac{11}{4},-2\right]\cup \left(0,\dfrac23\right]$
每日一题[2232]换元见真相
已知函数 $f(x)=\ln (x+1)-ax-1$，其中 $a\leqslant -\dfrac 3{10}$．
1、证明：$f(x)$ 有唯一零点．
2、设 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的零点，证明： ① $\dfrac{1}{1-a}\leqslant x_0\leqslant 1-a$； ② $\dfrac{3-10a+8a^2-2a^3}{2(2-a)^2}\leqslant f(x_0+1)\leqslant \dfrac{a^2-3a+1}{2-a}$． 参考数据：$\ln 2\approx 0.693$，$\ln 3\approx 1.098$．
每日一题[2231]韦达定理全家福
已知抛物线 $x^2=4y$，点 $A$ 在抛物线上，且在第一象限，以点 $A$ 为切点作抛物线的切线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $B$，过点 $B$ 作垂直于 $l$ 的直线 $l'$ 交抛物线于 $C,D$ 两点，其中点 $C$ 在第一象限，设 $l'$ 与 $y$ 轴交于点 $K$．
1、若点 $A$ 的横坐标为 $2$，求切线 $l$ 的方程．
2、连接 $OC,OD,AK,AC$，记 $\triangle OKD,\triangle OKC,\triangle AKC$ 的面积为 $S_1,S_2,S_3$，求 $\dfrac{S_3}{S_2}\cdot \left(\dfrac{S_1}{S_2}-1\right)$ 的最小值．