每日一题[2077]多线共点

平面上给定 $5$ 个点,任意三点不共线,过任意两点作直线.已知任意两条直线既不平行也不垂直,过 $5$ 点中任意一点向另外四点的连线作垂线,则所有这些垂线的交点(不包括已知的 $5$ 点)个数至多有_______个.

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每日一题[2076]正反皆可

立方体 $8$ 个顶点任意两个顶点所在的直线中,异面直线共有_______对.

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每日一题[2075]间隔染色

是否存在整数集 $\mathbb Z$ 上的函数 $f: \mathbb{Z} \to \{-1,0,1\}$,对任意的整数 $x, y \in \mathbb{Z}$,只要 $|x-y| \in\{2,3,5\}$ 就有 $f(x) \neq f(y)$?证明你的结论.

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每日一题[2074]根系关系

设 $n$ 是正整数,$f(x)$ 是 $n$ 次多项式,并且对任意的 $k \in\{0,1, 2,\cdots, n\}$ 都有 $f(k)=\dfrac{n-k}{k+1}$,求 $f(n+1)$.

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每日一题[2073]换元

已知 $0<a<b$,求证:$\dfrac{\arctan b-\arctan a}{b-a}>\dfrac{1}{\sqrt{1+a^{2}}\cdot \sqrt{1+b^{2}}}$.

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每日一题[2072]引入参数

函数 $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+26}+\sqrt{14-x}$ 的最大值是_______.

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每日一题[2071]算两次

把 $10$ 名游客分成两个小组,并在每个小组中选出一个组长,共有_______个方案.

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每日一题[2070]内外心重合

如果 $\cos x+\cos y+\cos z=0$,$ \sin x+\sin y=\sin z$,那么 $ \cos ^{2} x+\cos ^{2} y+\cos ^{2} z=$ _______.

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每日一题[2069]左右逢源

已知 $1+\sqrt 2+\cdots+\sqrt n<C\cdot (n+1)^{\frac 32}$,求证:当 $C=\dfrac 23$ 时,不等式恒成立,且 $C<\dfrac 23$ 时该不等式不恒成立.

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每日一题[2068]强硬分离

已知 $f(x)=x^3+ax^2-x+1-a$,且对任意 $x\in [-1,1]$,$|f(x)|\geqslant |x|$ 恒成立,求实数 $a$ 的取值范围.

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