Math173

2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #19

已知圆 $C:(x-1)^2+y^2=1$，点 $P_1(1,1)$，对于圆 $C$ 上的点 $P_n\left(a_n,b_n\right)$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），按照如下方式构造点 $P_{n+1}$：过点 $P_n$ 作直线 $l_n$ 垂直于 $y$ 轴，垂足为 $M_n$，点 $Q_n$ 满足 ${\overrightarrow{M_n Q_n}}=\lambda\overrightarrow{M_nP_n}$（$\lambda$ 为常数，$\lambda\geqslant\sqrt 5$），直线 $OQ_n$ 交 $C$ 于点 $P_{n+1}$，其中 $O$ 为坐标原点，点 $P_{n+1}$ 异于点 $O$．

1、若 $\lambda=3$，求 $P_2$ 的坐标；

2、证明：数列 $\left\{\dfrac 1{a_n}-\dfrac 1 2\right\}$ 为等比数列；

3、已知 $P(2,0)$，设 $\triangle OP_1 P_{n+1}$ 及 $\triangle PP_1 P_{n+1}$ 的面积分别为 $S_n,T_n$，若存在正整数 $m,n$（$m<n$），使得 $n^2 T_n\left(S_m-T_m\right)=m^2 T_m\left(S_n-T_n\right)$，求 $\lambda$ 所有可能的值．

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2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #18

已知抛物线 $C: y^2=2 p x$（$p>0$）的焦点为 $F$，$C$ 上的点 $P(4,t)$（$t>0$）到 $F$ 的距离为 $5$．

1、求 $p$ 和 $t$ 的值；

2、$A,B$ 为 $C$ 上两点，$\triangle PAB$ 的重心在直线 $y=-\dfrac 4 3$ 上．

① 证明：直线 $AB$ 的斜率为定值；

② 设直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$，线段 $AB$ 的中点为 $T$，线段 $PQ$ 的中点为 $R$，过点 $P$ 向直线 $TR$ 作垂线，垂足为 $H$．证明：点 $H$ 在定圆上运动．

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2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #14

设正整数 $n=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+\cdots+a_{k-1}\cdot 2^{k-1}+a_k\cdot 2^k$，其中 $a_i\in\{0,1\}$，$i=0,1,2,\cdots,k$．记 $\omega(n)=a_0+a_1+\cdots+a_k$．从集合 $\left\{x\in \mathbb N^{\ast}\mid x\leqslant 2000\right\}$ 中随机抽取一个数 $n$，则 $\omega(n)\leqslant 3$ 的概率为_____．

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2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #8

已知函数 $f(x)=\left(x^2-k x+k-2\right)\mathrm e^x+(k-2)\mathrm e^2$，若存在 $x_0<2$，对于任意 $x\in\left(x_0,2\right)$ 都有 $f(x)<0$，则实数 $k$ 的取值范围是（       ）

A．$(-\infty,3)$

B．$(-3,0)$

C．$(0,3)$

D．$(-3,+\infty)$

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2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #6

若等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $\dfrac{S_7 S_3}{S_4^2}=\dfrac 7 4$，则 $\dfrac{S_3}{S_4}=$（       ）

A．$-2$

B．$-\dfrac 1 2$

C．$\dfrac 1 2$

D．$2$

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2026年3月广东广州市一模数学试卷 #18

已知函数 $f(x)=(1-2 x)\ln x+a x-1$．

1、若 $a=1$，求 $f(x)$ 的单调区间；

2、若 $f(x)$ 有且仅有 $1$ 个零点，求 $a$ 的值；

3、若 $f(x)\leqslant a+b$ 对任意 $x>0$ 恒成立，证明：$a-b<4$．

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2026年3月广东广州市一模数学试卷 #14

某公园里有一块边长分别为 $30$ 米、$40$ 米、$50$ 米的三角形草坪（记为 $\triangle ABC$），点 $D,E$ 在 $\triangle ABC$ 的边上，线段 $DE$ 把草坪分成面积相等的两部分．如果沿 $DE$ 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为_____米．

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2026年3月广东广州市一模数学试卷 #11

已知曲线 $C$ 的方程为 $F(x,y)=0$，集合 $T=\{(x,y)\mid F(x,y)=0\}$，若对任意的 $\left(x_1,y_1\right)\in T$，都存在 $\left(x_2,y_2\right)\in T$，使得 $x_1\left(y_2-2\right)=x_2 y_1$ 成立，则称曲线 $C$ 为 $\alpha$ 曲线．下列方程所表示的曲线为 $\alpha$ 曲线的是（       ）

A．$x^2+y^2=5$

B．$x-y-1=0$

C．$y=\ln x$

D．$y=\mathrm e^{-x}-2$

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2026年3月广东广州市一模数学试卷 #8

在正三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$AB=2$，$AA_1=1$，点 $D$ 是平面 $ABC$ 上的动点，则 $A_1 D+\dfrac{\sqrt 2}2 CD$ 的最小值是（       ）

A．$\dfrac{5\sqrt 2}4$

B．$\dfrac{3\sqrt 2}2$

C．$\dfrac{5\sqrt 3}4$

D．$\dfrac{3\sqrt 3}2$

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2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #19

已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x\left(\mathrm e^{a x}+a\right)+\ln x-1$．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性：

2、若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）．

① 求 $a$ 的取值范围：

② 若 $x_1\cdot x_2^m>\mathrm e^{m+1}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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