每日一题合集(1-1001)出版啦

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每日一题1001题序

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每日一题[1249]隐零点估计

求证:$x^2{\rm e}^x-\ln x-1>0$.

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每日一题[1248]相关直线

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{3y^2}{a^2}=1$($a>0$),点 $P,Q,R$ 在椭圆 $C$ 上,点 $R$ 到直线 $OP,OR$ 的距离均等于 $\dfrac 12a$,直线 $OP,OQ$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$.

1、求 $k_1\cdot k_2$ 的值;

2、求证:$|OP|\cdot |OQ|\leqslant \dfrac 23a^2$.

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每日一题[1247]极化恒等式

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知点 $A(-1,0)$,$B,C$ 是单位圆 $O$ 上的两个动点.若直线 $BC$ 的倾斜角为 $30^\circ$,则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ 的取值范围是_______.

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每日一题[1246]微创手术

求证:$2{\rm e}^x>x^3+3x$.

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每日一题[1245]寻找切点

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左右焦点分别为 $F_1,F_2$,过点 $F_2$ 的直线 $l:12x-5y-24=0$ 交双曲线的右支于 $A,B$ 两点,若 $\angle AF_1B$ 的角平分线方程为 $x-4y+2=0$,则三角形 $AF_1B$ 的内切圆的标准方程为(       )

A.$\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 58\right)^2=\left(\dfrac {13}8\right)^2$

B.$\left(x-1\right)^2+\left(y-\dfrac 34\right)^2=\left(\dfrac {5}4\right)^2$

C.$\left(x-1\right)^2+\left(y-\dfrac 34\right)^2=\left(\dfrac {63}{52}\right)^2$

D.$\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 58\right)^2=\left(\dfrac {5}4\right)^2$

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每日一题[1244]分而治之

已知 $a,b,c>0$,且 $a+b+c=1$,则 $a+\sqrt b+\sqrt[3]c$ 的最大值是_______.

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每日一题[1243]削减变量

已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$,内角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$,则 $a^2+2b^2+3c^2$ 的最小值是_______.

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每日一题[1242]上下限

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ 且 $a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}$($n\in\mathbb N^{\ast}$).

1、求证:对任意正整数 $n$,有 $a_n<5$;

2、求证:存在正整数 $m$,使得 $a_m>4$.

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每日一题[1241]完全平方数

设正整数 $d$ 不等于 $2,5,13$,求证在集合 $\{2,5,13,d\}$ 中可以找到两个不同的元素 $a,b$,使得 $ab-1$ 不是完全平方数.

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每日一题[1240]非零数字

求 $2018!$ 的最后一个非零数字.

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