Math173

平面直角坐标系中有 $16$ 个格点 $(i,j)$，其中 $0\leqslant i\leqslant 3$，$0\leqslant j\leqslant 3$．若在这 $16$ 个点中任取 $n$ 个点，这 $n$ 个点中总存在 $4$ 个点，这 $4$ 个点是一个正方形的顶点，求 $n$ 的最小值．

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证明：对任意 $x\in\mathbb R^{\ast}$，有\[\max\{0,\ln |x|\}\geqslant \dfrac{\sqrt 5-1}{2\sqrt 5}\ln |x|+\dfrac1{2\sqrt 5}\ln |x^2-1|+\dfrac 12\ln\dfrac{\sqrt 5+1}2,\]且等号成立的充要条件是 $x=\pm\dfrac{\sqrt 5+1}2$ 或 $x=\pm \dfrac{\sqrt 5-1}2$．

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如图所示，$D$ 是 $\triangle ABC$ 中边 $BC$ 的中点，$K$ 为 $AC$ 与 $\triangle ABD$ 的外接圆 $O$ 的交点，$EK$ 平行于 $AB$ 且与圆 $O$ 交于 $E$．若 $AD=DE$，求证：$AB+AK=KC$．

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