每日一题[3819]

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每日一题[3818]

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每日一题[3817]

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每日一题[3816]

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每日一题[3815]暗恋者

$n$($n\in\mathbb N^{\ast}$,$n\geqslant 3$)个人相互传球,传球规则如下:若球由甲手中传出,则甲传给乙;否则,传球者等可能地将球传给另外的 $n-1$ 个人中的任何一个.第一次传球由甲手中传出,第 $k$($k\in\mathbb N^{\ast}$)次传球后,球在甲手中的概率记为 $A_n(k)$,球在乙手中的概率记为 $B_n(k)$.

1、求 $A_5(2),B_5(2),A_5(3),B_5(3)$;

2、求 $A_n(k)$; 比较 $B_n(k+1)$ 与 $\dfrac{n-2}{n-1}A_n(k)$ 的大小,并说明理由.

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每日一题[3814]放缩处理指对

已知函数 $f(x)=a\ln (x+1)-x \mathrm e^{x+1}$.

1、当 $a<0$ 时,求 $f(x)$ 的单调区间;

2、若函数 $f(x)$ 存在正零点 $x_0$,

① 求 $a$ 的取值范围;

② 记 $x_1$ 为 $f(x)$ 的极值点,证明:$x_0<3 x_1$.

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每日一题[3813]换元与估计

设函数 $f(x)=\dfrac {\mathrm e}{2 x}+\ln x$($x>0$).

1、求 $f(x)$ 的单调区间;

2、已知 $a,b\in \mathbb R$,曲线 $y=f(x)$ 上不同的三点 $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right),\left(x_2,f\left(x_2\right)\right),\left(x_3,f\left(x_3\right)\right)$ 处的切线都经过点 $(a,b)$.证明:

① 若 $a>\mathrm e$,则 $0<b-f(a)<\dfrac 1 2\left(\dfrac a {\mathrm e}-1\right)$;

② 若 $0<a<\mathrm e$,$x_1<x_2<x_3$,则 $\dfrac 2 e+\dfrac{\mathrm e-a}{6 \mathrm e^2}<\dfrac 1{x_1}+\dfrac 1{x_3}<\dfrac 2 a-\dfrac{\mathrm e-a}{6 \mathrm e^2}$.

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每日一题[3812]分析通项

设函数 $f(x)=\dfrac x{1+x}-\ln (1+x)$,$g(x)=\ln (1+x)-b x$.

1、求函数 $f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程;

2、是否存在实数 $b$,使得关于 $x$ 的不等式 $g(x)<0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立?若存在,求出 $b$ 的取值范围;若不存在,说明理由;

3、证明:不等式 $\dfrac 1 n+\ln\dfrac n {\mathrm e}<\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac k{k^2+1}\leqslant\dfrac 1 2+\ln n$.

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每日一题[3811]级数大杂烩

已知数列 $\left\{a_n\right\}$,$a_1=9$,$a_{n+1}=3 a_n+6\cdot 3^n$,$S_n$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和.

1、证明:数列 $\left\{\dfrac{a_n}{3^n}\right\}$ 为等差数列;

2、求 $S_n$;

3、若 $b_n=\begin{cases}\dfrac{2 n}{S_n-n},&n~\text{为奇数,}\\(-1)^{\frac n 2+1}\cdot\dfrac{2\cdot 3^{n+1}}{S_n},&n~\text{为偶数},\end{cases}$ 记数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$,证明:$T_{4 n}<1$.参考数据:$\ln 2\approx 0.69$.

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每日一题[3810]发散级数

若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+d}$($n\in\mathbb N^{\ast}$).其中 $d\neq 0$,$a_n>0$,则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 $M$ 数列.

1、已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 $M$ 数列,当 $d=1$,$a_1=1$ 时.

① 求证:数列 $\left\{a_n^2\right\}$ 是等差数列,并写出数列 $\left\{a_n\right\}\left(n\in\mathbb N^{\ast}\right)$ 的通项公式;

② $T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2 n}\left(\left(a_k^4+a_k^2\right)(-1)^k\right)$($n\in\mathbb N^{\ast}$).求 $\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1{T_k}$($n\in\mathbb N^{\ast}$).

3、若 $\left\{a_n\right\}$ 是 $M$ 数列($n\in\mathbb N^{\ast}$),且 $d>0$,证明:存在正整数 $n$.使得 $\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac 1{a_i}>2024$.

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