己知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 $（$a>b>0$）的左，右焦点分别为 $F_1, F_2$，点 $A$ 是 $C$ 上的一点（$A$ 在第一象限）且 $\angle F_1 A F_2=90^{\circ}$，$\angle F_1 A F_2$ 的角平分线 $l$ 与 $C$ 的另一个交点为点 $B$，$l$ 与 $y$ 轴交于点 $D$，若 $|A B|=2 |B D|$，则 $C$ 的离心率为_____．
每日一题[4023]函数与方程
在 $\triangle A B C$ 中，$\sin ^2 A+\sin ^2 B=\sin (A+B)$ 是 $C$ 为直角的（ ）
A．充分但非必要条件
B．必要但非充分条件
C．充要条件
D．既非充分条件也非必要条件
每日一题[4022]代数变形
已知实数 $a, b$ 满足 $3^a+5^b=9^a+25^b$，则 $27^a+125^b$ 的最大值为_____．
每日一题[4021]函数最值与消元
2026年1月湖南雅礼中学高三期末数学考试 #11
已知 $g(x)=2+m\cos x+n\sin x+M\cos 2 x+N\sin 2 x$，其中 $m,n,M,N$ 为常数， 且 $g(x)\geqslant 0$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 恒成立，则（ ）
A．$m^2+n^2\leqslant 8$
B．$M^2+N^2>4$
C．$|m|+|n|+|M|+|N|\leqslant 2\sqrt 2+4$
D．$g(x)\leqslant 6$
每日一题[4020]角参数解三角形
2026年1月湖南雅礼中学高三期末数学考试 #8
已知 $\triangle ABC$ 是锐角三角形，$CA>CB>AB=1$，且 $BC\cdot\sin B=2$，则 $\triangle ABC$ 的内接正方形的面积最大值为（ ）
A．$\dfrac 4 9$
B．$1$
C．$\dfrac 9{16}$
D．$4$
每日一题[4019]函数组合
2012年高考四川卷 #12
设函数 $f(x)=2x-\cos x$，$\{a_{n}\}$ 是公差为 $\dfrac{\pi}{8}$ 的等差数列，\[f(a_{1})+f(a_{2})+\cdots+f(a_{5})=5\pi,\]则 $f^2(a_{3})-a_{1}a_{5}=$ （ ）
A．$0$
B．$\dfrac{1}{16}\pi^{2}$
C．$\dfrac{1}{8}\pi^{2}$
D．$\dfrac{13}{16}\pi^{2}$
每日一题[4018]化齐次联立
己知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $A(2,3)$，$F_1, F_2$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，率心率 $e=\dfrac{1}{2}$．
1、求椭圆 $E$ 的方程；
2、求 $\angle F_1 A F_2$ 的角平分线所在直线 $l$ 的方程；
3、过点 $F_2$ 且斜率为 $k_1$ 的直线 $l_1$ 交椭圆 $E$ 于 $M, N$ 两点，记直线 $A M, A N$ 的斜率分别为 $k_2, k_3$，是否存在常数 $\lambda$，使得 $k_2+k_3-\lambda k_1$ 为定值？若存在，求出 $\lambda$ 及该定值；若不存在，请说明理由．
每日一题[4017]交点直线系
已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）左、右顶点与上顶点分别为 $A, B, C$，离心率 $e$ 为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$ \triangle A B C$ 的面积为 $2$．
1、求椭圆 $E$ 的标准方程；
2、点 $D$ 为第一象限 $E$ 上不同于顶点的动点，直线 $B D$ 与直线 $A C$ 交于点 $M$，直线 $C D$ 与 $x$ 轴交于点 $N$．证明：直线 $M N$ 过定点．
每日一题[4016]双曲函数
已知实数 $x,y$ 满足 $\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{y^2+4}-y\right)=2$，则 $4^x+2^{y-1}$ 的最小值为_____．
每日一题[4015]相对运动与不动点
小申家里添置了一只新油壶，如图所示．该油壶的瓶身是一个底面直径为 $6.4~{\rm cm}$，高 $16~{\rm cm}$ 的圆柱体（不计厚度），瓶内装有 $12.1~{\rm cm}$ 高的油．其壶嘴长度为 $13.4~{\rm cm}$（不计体积），且壶嘴与瓶身的夹角为 $30^{\circ}$，壶嘴的底部距离底面的高度为 $3~{\rm cm}$．现将油壶从壶底一端缓慢倾斜，当油刚好从壶嘴流出时，油壶的最小倾斜角度为_______（精确到 $0.01^{\circ}$）．
