每日一题合集(1-1001)出版啦

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每日一题1001题序

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每日一题[1221]均值不等式

已知 $a,b,c>0$,且 $abc=\dfrac 14$,求证:$(b+1)(c+1)(a+b)(a+c)>4$.

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每日一题[1220]分类估计

已知 $x,y$ 为实数,且满足 $\begin{cases} (x-1)^3-2017(x-1)=-1,\\ (y-1)^3-2017(y-1)=1,\end{cases}$ 则 $x+y$ 的值(       )

A.一定等于 $2$

B.一定小于 $92$

C.一定小于 $90$

D.一定大于 $-92$

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每日一题[1219]红蓝格子

用红蓝两种颜色给 $3\times 3$ 的格子染色,要求每行每列必须每种颜色都有,则不同涂色方案有(       )

A.$48$

B.$102$

C.$120$

D.$144$

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每日一题[1218]复数与数列

设数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1=a_2=1$,$b_1=1$,$b_2=3$,$a_{n+2}=4a_{n+1}-5a_n$,$b_{n+2}=4b_{n+1}-5b_n$,其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$,求证:$|a_1b_1|+|a_2b_2|+\cdots+|a_nb_n|<5^n$.

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每日一题[1217]论证与构造

设 $F(x)=|f(x)\cdot g(x)|$,$x\in[-1,1]$,其中 $f(x)=ax^2+bx+c$,$g(x)=cx^2+bx+a$,且对任意 $x\in [-1,1]$,均有 $|g(x)|\leqslant 1$,求 $F(x)$ 的最大值.

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每日一题[1216]变换化简

设 $M(x_0,y_0)$ 为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)内部一点且 $M$ 位于第一象限,过点 $M$ 作直线交双曲线的右支于点 $A,B$,记 $O$ 为坐标原点,若 $\triangle AOB$ 的面积最小值为 $\sqrt{b^2x_0^2-a^2y_0^2}$,则 $\dfrac{3x_0}a-\dfrac{y_0}b$ 的最小值为_______.

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每日一题[1215]端点分析

已知函数 $f(x)=\sin x+\tan x-2x$.

1、求证:函数 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增;

2、若 $\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),f(x)>mx^2$,求实数 $m$ 的取值范围.

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每日一题[1214]无巧不成书

已知函数 $f(x)=x-\ln(x+2)+{\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x}$,若存在实数 $x_0$,使 $f(x_0)=3$ 成立,则实数 $a$ 的值为(       )

A.$\ln 2$

B.$\ln 2-1$

C.$-\ln 2$

D.$-\ln 2-1$

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每日一题[1213]三角与几何

如图,点 $P$ 为矩形 $ABCD$ 内一点,$\angle PAB=20^\circ$,$\angle PBA=10^\circ$,$\angle APD=70^\circ$,则 $\angle BPC=$ _______.

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每日一题[1212]导数原型

设 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上可导的奇函数,$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数.已知 $x>0$ 时 $f(x)<f'(x)$,$f(1)={\rm e}$,不等式\[0<f\left(\ln (x+\sqrt{1+x^2})\right)\leqslant x+\sqrt{1+x^2}\]的解集为 $M$,则在 $M$ 上,$g(x)=\sin 6x$ 的零点个数为_______.

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