每日一题[1959]适当配对

已知函数 $f(x)=\dfrac{ax+\left|\ln (x-b)\right|}{a+1}$($x>b$,$a,b>0$).

1、求函数 $f(x)$ 的最小值.

2、若数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_{n+1}=\left|\ln \left(x_n-\dfrac 12\right)\right|+\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}$,且对任意正整数 $n$,$x_n\ne \dfrac 12$,求证:$x_1+x_2+\cdots+x_{2021}\geqslant 1010+\dfrac{2020}{\sqrt {\rm e}}$.

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每日一题[1958]极坐标与齐次化

已知 $O$ 为坐标原点,椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$,椭圆上的两点 $M,N$(非椭圆顶点)满足 $\angle MON=90^\circ$ 且 $\dfrac{1}{|OM|^2}+\dfrac{1}{|ON|^2}=\dfrac 32$. 

1、求椭圆方程.

2、不平行于 $y$ 轴的直线与椭圆交于 $P,Q$ 两点,$F$ 为椭圆的右焦点,直线 $PF$ 与 $QF$ 的斜率互为相反数时,直线 $PQ$ 是否过定点?若过,求出该定点;若不过,请说明理由.

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每日一题[1957]三倍角公式

在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B=90^\circ$,点 $D$ 在边 $BC$ 上,$\angle BAD=2\angle C$,$BC=12$,$CD=8$,则 $AB=$ _______.

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每日一题[1956]引入参数

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-9=xy$,则 $2x^2+y^2$ 的最大值为_______.

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每日一题[1955]辅助公式

已知正数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 和通项 $a_n$ 之间满足:$S_n\cdot a_n=\dfrac1{4^n}$,则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为_______.

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每日一题[1954]捆绑插空

$15$ 把椅子排成一排,有 $8$ 个同学坐着,其中甲、乙相邻,丙、丁相邻,其余的各不相邻,两端的椅子没人坐,则不同的安排方法数为______.

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每日一题[1953]阿圆

已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$,且 $c\cos B+b\cos(A+B)=0$,$BD$ 是 $AC$ 边上的中线,且 $BD=1$,则 $\triangle ABC$ 面积的最大值是_______.

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每日一题[1952]余弦定理的向量形式

在平面四边形 $ABCD$ 中,$AB=1$,$BC=4$,$CD=2$,$DA=3$,则 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow {BD}=$ _______.

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每日一题[1951]扩大差异

设正实数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a$,对任意正整数 $n$,$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n^3}$.数列 $\{b_n\}$ 满足对任意正整数 $n$,$b_n=a_n\cdot a_{n+1}$.记数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.

1、若对任意正整数 $n$ 均有 $\dfrac{S_n}{n}\geqslant\lambda$,求实数 $\lambda$ 的最大值.

2、若 $a=1$,记数列 $\{a_n^2\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$,证明:对任意正整数 $n$,$S_n-T_n\leqslant \sqrt n$.

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每日一题[1950]三角与解析

在 $\triangle ABC$ 中,内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$,若 $a=5\sqrt 2\sin\left(B+\dfrac{\pi}4\right)$,$c=5$,且 $\triangle ABC$ 的外心、重心分别为 $O,G$,则 $OG$ 的最小值为(       )

A.$\sqrt 2-1$

B.$\dfrac{5\sqrt 2-5}6$

C.$\sqrt 2+1$

D.$\dfrac{10-5\sqrt 2}6$

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