怪物猎人战绩排行榜

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每日一题[2240]光学性质

过抛物线 $y^2=2x$ 上一点 $P$ 作切线 $l$,过 $O$ 点作 $l$ 的垂线交 $PF$ 于 $Q$,$|OQ|=\dfrac 35$,则 $\triangle OFQ$ 的面积是_______.

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每日一题[2239]大浪淘沙

若存在正整数 $n$,使得 $3^m\mid \left(1!+2!+\cdots+n!\right)$,则正整数 $m$ 的最大值是_______.

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每日一题[2238]置换放缩

设 $a$ 为正实数,函数 $f(x)=a {\rm e}^{a x}-\sqrt{x}$ 存在零点 $x_{1}, x_{2}$($x_{1}<x_{2}$),且存在极值点 $x_{0}$.

1、当 $a=1$ 时,求曲线 $f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程.

2、求 $a$ 的取值范围,并证明:$2 x_{1}+3 x_{0}>3$.

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每日一题[2237]四三二一大法

已知直线 $B C$ 垂直单位圆 $O$ 所在的平面,且直线 $B C$ 交单位圆于点 $A$,$A B=B C=1$,$P$ 为单位圆上除 $A$ 外的任意一点,$l$ 为过点 $P$ 的单位圆 $O$ 的切线,则(       )

A.有且仅有一点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最小值

B.有且仅有两点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最小值

C.有且仅有一点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最大值

D.有且仅有两点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最大值

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每日一题[2236]集中条件

已知正六棱雉 $V-A B C D E F$,$P$ 是侧棱 $V C$ 上一点(不含端点),记直线 $P B$ 与直线 $D E$ 所成角为 $\alpha$,直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\beta$,二面角 $P-C D-F$ 的平面角为 $\gamma$,则(       )

A.$\beta<\gamma$,$\alpha<\gamma$

B.$\beta<\alpha$,$\beta<\gamma$

C.$\beta<\alpha$,$\gamma<\alpha$

D.$\alpha<\beta$,$\gamma<\beta$

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每日一题[2235]消元

已知 $-\dfrac{\pi}{2}<\beta-\alpha<\dfrac{\pi}{2}$,$\sin \beta-2 \cos \alpha=1$,$2 \sin \alpha+\cos \beta=\sqrt{2}$,则 $\sin \left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)=$ (       )

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

B.$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

C.$\pm \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

D.$\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

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每日一题[2234]漏网之鱼

已知函数 $f(x)=\sin^2{\dfrac {\omega x}2}+\dfrac 12\sin \omega x-\dfrac 12(\omega>0)$,$x\in \mathbb R$.若 $f(x)$ 在区间 $(\pi,2\pi)$ 内没有零点,则 $\omega$ 的取值范围是(       )

A.$\left(0,\dfrac 18\right]$

B.$\left(0,\dfrac 14\right]\cup \left[\dfrac 58,1\right)$

C.$\left(0,\dfrac 58\right]$

D.$\left(0,\dfrac 18\right]\cup \left[\dfrac 14,\dfrac 58\right]$

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每日一题[2233]分离变量

已知函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}\dfrac{1}{x+1}-3,&x\in\left(-1,0\right], \\ x,&x\in\left(0,1\right], \end{cases}$ 且 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-mx-m$ 在 $\left(-1,1\right]$ 内有且仅有两个不同的零点,则实数 $m$ 的取值范围是(       )

A.$\left(-\dfrac94,-2\right]\cup \left(0,\dfrac12\right]$

B.$\left(-\dfrac{11}{4},-2\right]\cup \left(0,\dfrac12\right]$

C.$\left(-\dfrac94,-2\right]\cup \left(0,\dfrac23\right]$

D.$\left(-\dfrac{11}{4},-2\right]\cup \left(0,\dfrac23\right]$

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每日一题[2232]换元见真相

已知函数 $f(x)=\ln (x+1)-ax-1$,其中 $a\leqslant -\dfrac 3{10}$.

1、证明:$f(x)$ 有唯一零点.

2、设 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的零点,证明: ① $\dfrac{1}{1-a}\leqslant x_0\leqslant 1-a$; ② $\dfrac{3-10a+8a^2-2a^3}{2(2-a)^2}\leqslant f(x_0+1)\leqslant \dfrac{a^2-3a+1}{2-a}$. 参考数据:$\ln 2\approx 0.693$,$\ln 3\approx 1.098$.

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每日一题[2231]韦达定理全家福

已知抛物线 $x^2=4y$,点 $A$ 在抛物线上,且在第一象限,以点 $A$ 为切点作抛物线的切线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $B$,过点 $B$ 作垂直于 $l$ 的直线 $l'$ 交抛物线于 $C,D$ 两点,其中点 $C$ 在第一象限,设 $l'$ 与 $y$ 轴交于点 $K$.

1、若点 $A$ 的横坐标为 $2$,求切线 $l$ 的方程.

2、连接 $OC,OD,AK,AC$,记 $\triangle OKD,\triangle OKC,\triangle AKC$ 的面积为 $S_1,S_2,S_3$,求 $\dfrac{S_3}{S_2}\cdot \left(\dfrac{S_1}{S_2}-1\right)$ 的最小值.

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