每日一题[2809]奇偶形态

已知首项为 $\dfrac{3}{2}$ 的等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 不是递减数列,其前 $n$ 项和为 ${S_n}\left(n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}\right)$,且 ${S_3} + {a_3},{S_5} + {a_5},{S_4} + {a_4}$ 成等差数列.

1、求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式.

2、设 ${T_n} = {S_n} - \dfrac{1}{S_n}$($n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$),求数列 $\left\{ {T_n} \right\}$ 的最大项的值与最小项的值.

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每日一题[2808]三点定乾坤

已知函数 $f\left(x\right) = x\left( {1 + a\left| x \right|} \right)$.设关于 $x$ 的不等式 $f\left( {x + a} \right) < f\left( x \right)$ 的解集为 $A$,若 $\left[ { - \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}} \right] \subseteq A$,则实数 $a$ 的取值范围是(       )

A.$\left( {\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2},0} \right)$

B.$\left( {\dfrac{1 - \sqrt 3 }{2},0} \right)$

C.$\left( {\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2},0} \right) \cup \left( {0,\dfrac{1 + \sqrt 3 }{2}} \right)$

D.$\left( { - \infty ,\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2}} \right)$

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每日一题[2807]层峦叠嶂

设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$:\[1, - 2, - 2,3,3,3, - 4, - 4, - 4, - 4, \cdots ,\underbrace {{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}k, \cdots ,{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}k}_{k~\text{个}}, \cdots ,\]即当 $\dfrac{{\left( {k - 1} \right)k}}{2} < n \leqslant \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}$($k \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$)时,${a_n} = {\left( { - 1} \right)^{k - 1}}k$.记 ${S_n} = {a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n}$($n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$).对于 $l \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$,定义集合 ${P_l} = \left\{ {n\mid {S_n}~\text{是}~{a_n}~\text{的整数倍}~,n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}},~\text{且}~1 \leqslant n \leqslant l} \right\}$.

1、求集合 ${P_{11}}$ 中元素的个数.

2、求集合 ${P_{2000}}$ 中元素的个数.

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每日一题[2806]玄冥二老

设函数 $f\left(x\right) = \ln x - ax$,$g\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} - ax$,其中 $a$ 为实数.

1、若 $f\left(x\right)$ 在 $\left(1, + \infty \right)$ 上是单调减函数,且 $g\left(x\right)$ 在 $\left(1, + \infty \right)$ 上有最小值,求 $a$ 的取值范围.

2、若 $g\left(x\right)$ 在 $\left( - 1, + \infty \right)$ 上是单调增函数,试求 $f\left(x\right)$ 的零点个数,并证明你的结论.

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每日一题[2805]螳臂当车

在正项等比数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 中,${a_5} = \dfrac{1}{2}$,${a_6} + {a_7} = 3$,则满足 ${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n} > {a_1}{a_2} \cdots {a_n}$ 的最大正整数 $n$ 的值为_______.

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每日一题[2804]对勾换元

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,设定点 $A\left(a,a\right)$,$P$ 是函数 $y = \dfrac{1}{x}$($x > 0$)图象上一动点,若点 $P,A$ 之间的最短距离为 $2\sqrt 2 $,则满足条件的实数 $a$ 的所有值为_______.

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每日一题[2803]一刀两段

已知 ${F_1},{F_2}$ 分别是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{5} + {y^2} = 1$ 的左、右焦点,${F_1},{F_2}$ 关于直线 $x + y - 2 = 0$ 的对称点是圆 $C$ 的一条直径的两个端点.

1、求圆 $C$ 的方程.

2、设过点 ${F_2}$ 的直线 $l$ 被椭圆 $E$ 和圆 $C$ 所截得的弦长分别为 $a,b$.当 $ab$ 最大时,求直线 $l$ 的方程.

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每日一题[2802]特征数列

对于 $E = \left\{ {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_{100}}} \right\}$ 的子集 $X = \left\{ {{a_{i_1}},{a_{i_2}}, \cdots ,{a_{i_k}}} \right\}$,定义 $X$ 的“特征数列”为 ${x_1},{x_2} ,\cdots, {x_{100}}$,其中 ${x_{i_1}} = {x_{i_2}} = \cdot \cdot \cdot = {x_{i_k}} = 1$,其余项均为 $ 0 $,例如:子集 $\left\{ {{a_2},{a_3}} \right\}$ 的“特征数列”为 $ 0,1,1,0,0,\cdots,0 $.

$(1)$ 子集 $\left\{ {{a_1},{a_3},{a_5}} \right\}$ 的“特征数列”的前 $ 3 $ 项和等于_______.

$(2)$ 若 $E$ 的子集 $P$ 的“特征数列”${p_1},{p_2},\cdots,{p_{100}}$ 满足 ${p_1} = 1$,${p_i} + {p_{i + 1}} = 1$,$1 \leqslant i \leqslant 99$,$E$ 的子集 $Q$ 的"特征数列" ${q_1},{q_2},\cdots,{q_{100}}$ 满足 ${q_1} = 1$,${q_j} + {q_{j + 1}} + {q_{j + 2}} = 1$,$1 \leqslant j \leqslant 98$,则 $P \cap Q$ 的元素个数为_______.

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每日一题[2801]代数计算

已知事件“在矩形 $ABCD$ 的边 $CD$ 上随机取一点 $P$,使 $\triangle APB$ 的最大边是 $AB$”发生的概率为 $\dfrac{1}{2}$,则 $\dfrac{AD}{AB} = $(       )

A.$\dfrac{1}{2}$

B.$\dfrac{1}{4}$

C.$\dfrac{\sqrt 3 }{2}$

D.$\dfrac{\sqrt 7 }{4}$

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每日一题[2800]分而治之

设函数 $f\left(x\right) = {a^x} + {b^x} - {c^x}$,其中 $ c > a > 0 $,$c > b > 0 $.

$(1)$ 记集合 $M = \left\{ \left(a, b,c\right)\mid a,b,c~\text{ 不能构成一个三角形的三条边长},~\text{且}~a = b \right\}$,则 $\left(a,b,c\right) \in M$ 所对应的 $f\left(x\right)$ 的零点的所有可能取值构成的集合为[[nn]];

$(2)$ 若 $a,b,c$ 是 $ \triangle ABC $ 的三条边长,则下列结论正确的是 [[nn]].(写出所有正确结论的序号)

① $\forall x \in \left( { - \infty ,1} \right)$,$ f\left( x \right) > 0 $;

② $\exists x \in {\mathbb{R}}$,使 $ {a^x},{b^x},{c^x} $ 不能构成一个三角形的三条边长;

③ 若 $\triangle ABC$ 为钝角三角形,则 $ \exists x \in \left( {1,2} \right) $,使 $f\left( x \right) = 0 $.

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