Math173

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，给定三点 $A\left(0,\dfrac 43\right)$，$B(-1,0)$，$C(1,0)$，点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离是该点到直线 $AB,AC$ 的距离的等比中项．

1、求点 $P$ 的轨迹方程．

2、若直线 $l$ 经过 $\triangle ABC$ 的内心（设为 $D$），且与点 $P$ 的轨迹恰好有 $3$ 个公共点，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围．

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设 $f(x)=x^2+a$，记 $f^{1}(x)=f(x)$，$f^{n}(x)=f(f^{n-1}(x))$（$n=2,3,\cdots$），$M$ 为使得对任意正整数 $n$ 均有 $\left|f^{(n)}(0)\right|\leqslant 2$ 成立的实数 $a$ 的取值集合．求证：$M=\left[-2,\dfrac 14\right]$．

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将号码分别为 $1,2,\cdots,9$ 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为 $a$，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为 $b$，则使不等式 $a-2b+10>0$ 成立的事件发生的概率等于_______．

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方程组 $\begin{cases}x+y+z=0,\\ xyz+z=0,\\ xy+yz+xz+y=0,\end{cases}$ 的有理数解 $(x,y,z)$ 的个数为_______．

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求函数 $y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt x$ 的最小值和最大值．

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设直线 $l:y=kx+m$（其中 $k,m$ 为整数）与椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 交于不同两点 $A,B$，与双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$ 交于不同两点 $C,D$，问是否存在直线 $l$，使得向量 $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=0$，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

答案    $9$条．

解析    题意即弦 $AB$ 的中点与弦 $CD$ 的中点重合，记中点为 $M$．

情形一     $k=0$．此时直线 $l$ 与 $x$ 轴平行，于是 $m^2<12$ 且根据椭圆和双曲线的对称性，必然有弦 $AB$ 的中点与弦 $CD$ 的中点重合，因此 $(k,m)=(0,-3),(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)$ 是符合题意的 $7$ 组解．

情形二     $k\ne 0$ 且 $m=0$．此时直线 $l$ 经过坐标原点 $O$，于是 $k^2<3$ 且根据椭圆和双曲线的对称性，必然有弦 $AB$ 的中点与弦 $CD$ 的中点重合，因此 $(k,m)=(-1,0),(1,0)$ 是符合题意的 $2$ 组解．

情形三     $k\ne 0$ 且 $m\ne 0$．此时根据椭圆和双曲线垂径定理，直线 $OM,AB,CD$ 的斜率 $k_{OM},k_{AB},k_{CD}$ 满足\[\begin{cases} k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac 34,\\ k_{CD}\cdot k_{OM}= 3,\end{cases}\]这与 $k_{AB}=k_{CD}$ 矛盾，因此不存在符合题意的解．

综上所述，符合题意的直线共有 $9$ 条．

一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 $100$ 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是_______（可以用指数表示）．

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设 $0\leqslant x,y\leqslant1$，证明：$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leqslant\dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}$．

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