2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #16
在四边形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$BC=2$，$CD=3$，$DA=4$，$AC,BD$ 交于点 $O$．
1、求 $2\cos\angle DAB-3\cos\angle DCB$ 的值；
2、求四边形 $ABCD$ 面积的最大值；
3、求 $\tan\angle AOB$ 的最大值．
每日一题[4070]拼接切
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #15
如图，在平面中，$AB=AC=AD=AE=EC=2$，$BC=2\sqrt 3$，$AD\perp AB$．将 $\triangle DAB,\triangle EAC,\triangle FBC$ 分别沿 $AB,AC,BC$ 折起，形成三棱锥 $P-ABC$．
1、证明：平面 $PBC\perp~\text{平面}~ABC$；
2、记三棱锥 $P-ABC$ 的外接球球心为 $O$，$PB,PC$ 的中点分别为 $M,N$，过点 $O,M,N$ 的平面与 $AP$ 交于点 $H$．
① 求 $\dfrac{AH}{AP}$；
② 求四棱锥 $P-OMHN$ 的体积．
每日一题[4068]垂心来帮忙
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #13
已知 $\triangle ABC$ 的重心为 $G$，外心为 $O$，$OG\parallel BC$，则 $\tan B\tan C=$ _____．
每日一题[4067]路径规划
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #11
平面直角坐标系 $x Oy$ 中，已知圆 $O_1:(x+2)^2+y^2=1$，圆 $O_2: x^2+y^2=1$，圆 $O_3:(x-2)^2+y^2=1$．集合 $A_d$ 表示当 $O_1,O_2,O_3$ 到直线 $l$ 的距离之和为 $d$ 时，$l$ 与圆 $O_1,O_2,O_3$ 可能的总公共点个数，则（ ）
A．$A_1=\{4,5,6\}$
B．$A_2=\{3,4,5,6\}$
C．$A_3=\{2,3,4\}$
D．$A_4=\{0,1,2,3\}$
每日一题[4066]抽象函数的零点
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #10
已知 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f^{\prime}(x)>3 x^2$，则（ ）
A．$f(x)>x^3$
B．$f(1)-f(-1)>2$
C．$f(x)$ 有且仅有一个零点
D．$f(x)+x\left(f^{\prime}(x)\right)^2$ 至少有一个零点
每日一题[4065]调律
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #9
记 $f(x)=A_{1} \sin \left(\omega_{1} x+\varphi_{1}\right)$，$ g(x)=A_{2} \sin \left(\omega_{2} x+\varphi_{2}\right)$（$A_{1}, A_{2}, \omega_{1}, \omega_{2},\varphi_1,\varphi_2>0$）所有零点分别构成集合 $S_{1}, S_{2}$，二者的所有公共点横坐标构成集合 $S_{3}$，已知 $S_{2}=S_{3}$，$S_{1} \neq S_{2}$，且 $f(x),g(x)$ 没有相同的极值点，则（ ）
A．$S_{2} \varsubsetneqq S_{1}$
B．$\dfrac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \in \mathbb{N}$
C．$\dfrac{\varphi_{1}}{\varphi_{2}} \in \mathbb{Q}$
D．$A_{1} \omega_{1} \leqslant A_{2} \omega_{2}$
每日一题[4064]类周期函数
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #8
若存在 $a>0$ 和定义在 $\mathbb{R}$ 上的 $f(x)$，使得 $f(x+a)=a f(x), f(x) \geqslant b^{x}$，则 $b$ 的最大值为（ ）
A．$\mathrm e$
B．$\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$
C．$\dfrac{1}{\mathrm{e}}$
D．${\mathrm e}^{\mathrm e}$
每日一题[4063]暗度陈仓
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$ a_{n+1}=\ln \left(\mathrm e^{a_n}-1\right)-\ln a_n$，则（ ）
A．$\mathrm e^{a_2}=\mathrm e-1$
B．$a_{n+1}>a_n$
C．$ a_2<4 a_4$
D．$a_{2026}>\dfrac{1}{2025}$
每日一题[4062]对数比例
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #7
已知 $\log _{2} x+\log _{3} y=2 \log _{6}(x y)$，则下列关系一定不正确的是（ ）
A．$1<x<y$
B．$y<x<1$
C．$y>x+1$
D．$x>y+1$