每日一题[1004]椭圆的性质综合

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$),$c,e$分别为椭圆$E$的半焦距和离心率,$F_1,F_2$分别为椭圆的左、右焦点.下列命题:
$(1)$设$A$为椭圆上任一点,其到直线$l_1:x=-\dfrac{a^2}{c}$,$l_2:x=\dfrac{a^2}{c}$的距离分别为$d_1,d_2$,则$\dfrac{|AF_1|}{d_1}=\dfrac{|AF_2|}{d_2}$;
$(2)$设$A$为椭圆上任一点,$AF_1,AF_2$分别于椭圆交于$B,C$两点,则$$\dfrac{|AF_1|}{|F_1B|}+\dfrac{|AF_2|}{|F_2C|}\geqslant 2\cdot \dfrac{1+{e}^2}{1-{e}^2},$$当且仅当点$A$在椭圆的顶点取到等号;
$(3)$设$A$为椭圆上任一点,过$A$的椭圆切线为$l$,$M$为线段$F_1F_2$上一点,且$\dfrac{|AF_1|}{|AF_2|}=\dfrac{|F_1M|}{|MF_2|}$,则直线$AM\perp l$;
$(4)$面积为$2ab$的椭圆内接四边形仅有$1$个.
其中正确的命题个数为(  )
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
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每日一题[1003]面积最值

设$P$为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的点,$A,B$分别为双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$两渐近线上的动点,且$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$($\lambda$为常数).设$O$为坐标原点,若$\triangle AOB$面积的最大值为$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\cdot \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|}$,则$\dfrac 1a+\dfrac 7b$的取值范围是______.

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每日一题[1002]零点分布

已知关于$x$的方程${\rm e}^{-x}+2=|\ln x|$的两个实数解为$x_1,x_2$($x_1<x_2$),则(  )
A.$0<x_1x_2<{\rm e}^{-1}$
B.$x_1x_2={\rm e}^{-1}$
C.${\rm e}^{-1}<x_1x_2<1$
D.以上答案都不对

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每日一题[1001]必胜策略

甲乙两人在沙滩上玩鹅卵石游戏,现有$15$块鹅卵石,甲乙两人轮流从石堆中拿出鹅卵石,每次每人拿的石块数只能是$1,2$或$3$,直到鹅卵石全部拿完游戏结束.如果当游戏结束时,总共拿到奇数个鹅卵石的人获胜,请问是否有必胜策略.

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每日一题[1000]数列与不等式

设实数$a\geqslant 2$,方程$x^2-ax+1=0$的两根分别为$x_1,x_2$,$a_n=x_1^n+x_2^n$($n=1,2,\cdots$),$b_n=\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$.
(1)用$b_n$表示$b_{n+1}$,并判断数列$\{b_n\}$的单调性;
(2)求所有实数$a$的值,使得对任意正整数$n$都有$b_1+b_2+\cdots+b_n>n-1$.

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每日一题[999]构造数列

求证:$\sqrt{2012+\sqrt{2011+\sqrt{\cdots+\sqrt{2+\sqrt 1}}}}<46$.

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每日一题[998]不妨设最

已知$a,b,c\geqslant 0$且$a+b+c=3$,求$m=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$的最大值.


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每日一题[997]用解析办法解平几问题

已知矩形$ABCD$中$AB=\sqrt 2BC$,以$CD$为直径向矩形外作半圆,设$P$为半圆上任意一点,直线$PA,PB$分别与$CD$相交于点$M,N$,求证:$CD^2=CM^2+DN^2$.

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每日一题[996]投影长度

证明:棱长为$1$的正四面体的棱在任一平面上的投影长度的平方之和为定值.

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每日一题[995]分分合合

已知$a,b,c,d>0$,求证:$\dfrac{1}{a(a+b)}+\dfrac{1}{b(b+c)}+\dfrac{1}{c(c+d)}+\dfrac{1}{d(d+a)}\geqslant \dfrac{4}{ac+bd}$.
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