勘误!勘误!勘误!(1月 15 日更新)

感谢读者朋友的批评指正,将勘误汇总如下,定期汇总为pdf供大家下载(请注意版次和时间).

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每日一题[1643]和差化积

设函数 $f_n(x)=1+x+\dfrac {1}{2!}x^2+\cdots+\dfrac {1}{n!}x^n$.

1、求证:当 $x\in (0,+\infty)$,$n \in \mathbb N^+$ 时,${\mathrm e}^x>f_n(x)$. 设 $x>0$,$n \in \mathbb N^{\ast}$.

2、若存在 $y \in \mathbb R$ 使得 ${\mathrm e}^x=f_n(x)+\dfrac {1}{(n+1)!}x^{n+1}{\mathrm e}^y$.求证:$0<y<x$.

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每日一题[1642]联立与不联立

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,椭圆 $C: \dfrac {x^2}{3}+y^2=1$ 的上顶点为 $A$.不经过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P,Q$ 两点,且 $\overrightarrow {AP}\cdot \overrightarrow {AQ}=0$.

1、直线 $l$ 是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

2、过 $P,Q$ 两点分别作椭圆的切线,两条切线交于点 $B$,求 $\triangle BPQ$ 面积的取值范围.

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每日一题[1641]约数个数

从正 $1680$ 边形的顶点中任取若干个,顺次相连成多边形,其中正多边形的个数为_______.

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每日一题[1640]定义与焦半径

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,$F_1,F_2$ 分别是双曲线 $x^2-\dfrac {y^2}{b^2}=1$($b>0$)的左、右焦点,过点 $F_1$ 作圆 $x^2+y^2=1$ 的切线,与双曲线左、右两支分别交于 $A,B$.若 $|F_2B|=|AB|$,则 $b$ 的值是_______.

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每日一题[1639]同余方程

设 $a_n=1+2+\cdots+n$,$n \in\mathbb N^+$,$S_m=a_1+a_2+\cdots+a_m$,$m=1,2,\cdots$,则 $S_1,S_2,\cdots,S_{2017}$ 中能被 $2$ 整除但不能被 $4$ 整除的数的个数是_______.

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每日一题[1638]三角方程

若 $\sin x \sin 2x \sin 3x+\cos x\cos 2x\cos 3x=1$,则 $x=$_______.

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每日一题[1637]从小到大

求满足 $x^3-x=y^7-y^3$ 的所有质数 $x$ 和 $y$.

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每日一题[1636]裂项

若 $\tan 4x=\dfrac {\sqrt 3}{3}$,则 $\dfrac {\sin 4x}{\cos 8x \cos 4x}+\dfrac {\sin 2x}{\cos 4x \cos 2x}+\dfrac {\sin x}{\cos 2x \cos x}+\dfrac {\sin x}{ \cos x}=$ _______.

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每日一题[1635]最长与最短

定义区间 $[x_1,x_2]$ 的长度为 $x_2-x_1$.若函数 $y=|{\log_2}x|$ 的定义域为 $[a,b]$,值域为 $[0,2]$,则区间 $[a,b]$ 的长度的最大值与最小值的差为______.

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每日一题[1634]逐步调整

设 $\delta=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ 为 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的一个排列,记 $\displaystyle F(\delta)=\sum \limits_{i=1}^{n}a_ia_{i+1}$,$a_{n+1}=a_1$,求 $\min \limits_{\delta}F(\delta)$.

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