2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#29
几个人讨论某个比赛的成绩，讨论内容如下：
张三：甲是第 $4$ 名；
李四：乙是第 $1$ 名或第 $3$ 名；
王五：丙排在乙前面；
刘六：丁是第 $1$ 名；
已知只有一个人说假话，下列正确的是（ ）
A．丙是第 $1$ 名
B．丁是第 $2$ 名
C．乙是第 $3$ 名
D．甲是第 $4$ 名
每日一题[3548]生根发芽
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#28
已知 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{10}$ 是 $1,2,3,\cdots,10$ 的排列，要求 $a_{i-1}$ 和 $a_{i+1}$ 一定有一个大于 $a_i$（$i=2,3,\cdots,9$），则满足要求的排列的总数为（ ）
A．$256$
B．$512$
C．$768$
D．$1024$
每日一题[3547]空间余弦定理
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#27
四面体 $V-ABC$ 中，$VA=VB=2\sqrt 2$，$VC=3$，$CA=CB=4$，则 $\overrightarrow{CA} $ 与 $ \overrightarrow{VB}$ 所成角的余弦的取值范围是（ ）
A．$\left(-\dfrac{15}{16\sqrt 2},\dfrac{19}{18\sqrt 2}\right)$
B．$\left(-\dfrac{15}{16\sqrt 2},\dfrac{17}{18\sqrt 2}\right)$
C．$\left(0,\dfrac{19}{18\sqrt 2}\right)$
D．$\left(0,\dfrac{49}{18\sqrt 2}\right)$
每日一题[3546]“距离”公式
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#26
已知直线 $l: a x+b y+c=0$，$P\left(x_1,y_1\right)$，$Q\left(x_2,y_2\right)$，$\lambda=\dfrac{a x_1+b y_1+c}{a x_2+b y_2+c}$，下列选项中正确的有（ ）
A．若 $\lambda>1$，则 $l$ 与射线 $ PQ$ 相交
B．若 $\lambda=1$，则 $l$ 与射线 $PQ$ 平行
C．若 $\lambda=-1$，则 $l$ 与射线 $PQ$ 垂直
D．若 $\lambda$ 存在，则点 $Q$ 在 $l$ 上
每日一题[3545]反三角裂项
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#25
$\tan\left(\arctan 2+\arctan\dfrac 2{2^2}+\cdots+\arctan\dfrac 2{12^2}\right)=$ （ ）
A．$\dfrac{18}{13}$
B．$-\dfrac{18}{13}$
C．$\dfrac{13}{18}$
D．$-\dfrac{13}{18}$
每日一题[3544]边角互化
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#24
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^{\circ}$，$\angle BAP=\angle CAP$，$P$ 在 $\triangle ABC$ 内部，延长 $BP$ 交 $AC$ 于 $Q$，且 $\dfrac 1{|BP|}+\dfrac 1{|CP|}=\dfrac 1{|PQ|}$，则 $\angle BPC=$ （ ）
A．$110^{\circ}$
B．$120^{\circ}$
C．$130^{\circ}$
D．$140^{\circ}$
每日一题[3543]安定日
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#23
已知 $a_1=1$，$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\lambda n^2-2 n}{n+1}$（$\lambda\geqslant 0$，$\lambda\in\mathbb R$），下列选项中正确的有（ ）
A．存在 $\lambda$，使存在正整数 $N$，使 $n\geqslant N$ 时，$a_{n+1}<a_n$ 恒成立
B．存在 $\lambda$，使不存在正整数 $N$，使 $n\geqslant N$ 时，$a_{n+1}<a_n$ 恒成立
C．存在 $\lambda$，使存在正整数 $N$，使 $n\geqslant N$ 时，$a_{n+1}>a_n$ 恒成立
D．存在 $\lambda$，使不存在正整数 $N$，使 $n\geqslant N$ 时，$a_{n+1}>a_n$ 恒咸立
每日一题[3542]迭代函数
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#22
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac{1}{3}$，$a_{n+1}=-\dfrac{1}{2 a_n-3}$，则（ ）
A．$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} a_n=\dfrac 12$
B．$\left\{\dfrac{a_n-1}{a_n+1}\right\}$ 是等比数列
C．$S_n>\dfrac{n}{3}$
D．$S_n<\dfrac{n}{2}$
每日一题[3541]辗转相除
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#21
已知 $a,b \in \mathbb N^{\ast}$，$a+b \leqslant 2024$，且 $ab^2+b+7 \mid a^2b+a+b$，则数组 $(a,b)$ 的个数为（ ）
A．$16$
B．$17$
C．$18$
D．$19$
每日一题[3540]垂径定理
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#20
已知双曲线 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），斜率为 $1$ 的直线与 $\Gamma$ 交于 $A B$ 两点，点 $C$ 在双曲线上且 $A C \perp B C$，$\triangle O A C$ 的重心为 $P$，$\triangle O B C$ 的重心为 $Q$，$\triangle A B C$ 的外心为 $R$，直线 $OP,OQ,OR$ 的斜率之积为 $-8$，则双曲线的离心率 $e=$ ( )
A．$\sqrt 2$
B．$\sqrt 3$
C．$2$
D．$\sqrt 5$