每日一题[1835]相交直线定义

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的一个焦点为 $\left(2\sqrt 2,0\right)$,过双曲线上的一点 $M$ 作一条渐近线的平行线,交另一条渐近线于点 $A$,若 $\triangle OMA$ 的面积为 $1$,则双曲线的离心率 $e$ 为_______.

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每日一题[1834]比大小

已知 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 成等比数列,满足 $a_1+a_2+a_3+a_4=(a_2+a_3+a_4)^2$,且 $a_4>1$,下列选项正确的是(     )

 A.$a_1>a_3$

B.$a_3>a_4$

C.$a_1>a_2$

D.$a_2<a_4$

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每日一题[1833]非对称位置最值

已知 $\triangle ABC$ 中,$\sin C=2\cos A\cos B$,则 $\cos^2A+\cos^2B$ 的最大值是_______.

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每日一题[1832]有界!不许动

已知等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\cos (\omega n)$($\omega \in \mathbb R$,$n\in\mathbb N^{\ast}$),则其前 $10$ 项和为_______.

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每日一题[1831]对数平均

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\dfrac{\rm e}2x^2+ax$.

1、若 $\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>\dfrac{\rm e}2(x_1+x_2)$ 对任意 $x_1>x_2$ 恒成立,求实数 $a$ 的取值范围.

2、若函数 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$,且 $x_1<x_2$,求证:$x_1+x_2>2+\dfrac a{\rm e}$.

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每日一题[1830]必要条件探路

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-k({\rm e}-1)x$.

1、若函数 $f(x)$ 有两个零点,求实数 $k$ 的取值范围.

2、若 $f(x)-kx\ln x\geqslant 1$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立,求实数 $k$ 的取值范围.

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每日一题[1829]极化恒等式

在 $\triangle ABC$ 中,点 $E,F$ 分别是线段 $AB,AC$ 的中点,点 $P$ 在直线 $EF$ 上,若 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$,则 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}^2$ 的最小值是(        )

A.$2$

B.$3$

C.$3\sqrt 2$

D.$2\sqrt 3$

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每日一题[1828]扰动区间

已知函数 $f(x)=x\ln x-2ax^2+3x-a$,$a\in\mathbb Z$.

1、当 $a=1$ 时,判断 $x=1$ 是否是函数 $f(x)$ 的极值点,并说明理由.

2、当 $x>0$ 时,不等式 $f(x)\leqslant 0$ 恒成立,求整数 $a$ 的最小值.

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每日一题[1827]分拆

设正整数 $a,b,cd$ 满足 $a>b>c>d$ 且 $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$,证明:$ab+cd$ 不是素数.

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每日一题[1826]端点分析

已知函数 $f(x)=2ax+{\rm e}^x$,$g(x)=ax^2-2ax-x{\rm e}^x$,$a\in \mathbb R$.

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调区间.

2、若对任意实数 $x$,$f(x)+g(x)\leqslant 1$,求 $a$ 的取值范围.

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