函数 $f(x)=\left(\dfrac{1}{x-1}+a\right)\cdot\ln x$．若 $f(x)\geqslant 1$ 对任意 $x\in (0,1)\cup(1,+\infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值集合．
每日一题[2468]组合构造
证明：对任一自然数 $n \geqslant 4$，下列命题成立：每个有外接圆的四边形，恒可分成 $n$ 个都有外接圆的四边形．
每日一题[2466]回归几何意义
$\displaystyle\int_1^9\sqrt{(x-1)(9-x)}{ {\rm d}} x=$ [[nn]].
每日一题[2465]积分
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}\dfrac1{1+\cos^2t}{ {\rm d}} t=$_______.
每日一题[2464]回归定义
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{n}{(2n-k)(2n+k)}=$_______．
每日一题[2463]倾斜的椭圆
已知实数 $x,y$ 满足 $5x^2+6xy+5y^2-8x-8y=-3$，则 $f(x,y)=x+y-x^2-y^2$ 的最大值为 _______．
每日一题[2462]不动点与特征根
设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=-1$，$a_1=1$，$a_n=-6a_{n-1}-9a_{n-2}-8$，$n\geqslant 2$，则 $a_9=$ _______．
每日一题[2461]同余方程组
在模 $2520$ 的同余系里，满足方程 $a^2\equiv a\pmod {2520}$ 的元素 $a$ 的个数为_______．
每日一题[2460]构造与递推
$\displaystyle\sum_{k=1}^8(-1)^k\dbinom 8kk^8$ 的值为_______．