每日一题[2468]组合构造

证明:对任一自然数 $n \geqslant 4$,下列命题成立:每个有外接圆的四边形,恒可分成 $n$ 个都有外接圆的四边形.

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每日一题[2467]展开

已知 $f(x)={\rm e}^{\sin x^2}$,则 $f^{(8)}(0)=$ _______.

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每日一题[2466]回归几何意义

$\displaystyle\int_1^9\sqrt{(x-1)(9-x)}{ {\rm d}} x=$ [[nn]].

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每日一题[2465]积分

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}\dfrac1{1+\cos^2t}{ {\rm d}} t=$_______.

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每日一题[2464]回归定义

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{n}{(2n-k)(2n+k)}=$_______.

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每日一题[2463]倾斜的椭圆

已知实数 $x,y$ 满足 $5x^2+6xy+5y^2-8x-8y=-3$,则 $f(x,y)=x+y-x^2-y^2$ 的最大值为 _______.

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每日一题[2462]不动点与特征根

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=-1$,$a_1=1$,$a_n=-6a_{n-1}-9a_{n-2}-8$,$n\geqslant 2$,则 $a_9=$ _______.

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每日一题[2461]同余方程组

在模 $2520$ 的同余系里,满足方程 $a^2\equiv a\pmod {2520}$ 的元素 $a$ 的个数为_______.

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每日一题[2460]构造与递推

$\displaystyle\sum_{k=1}^8(-1)^k\dbinom 8kk^8$ 的值为_______.

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每日一题[2459]构造方程

设 $a_1,a_2,\cdots,a_{2021}$ 为两两不同的实数,求证:\[\sum_{i=1}^{2021}\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}\dfrac{a_i+a_j}{a_i-a_j}=1.\]

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