每日一题[1063]单调与有界的纠缠

已知数列 \(\{a_n\}\) 满足对任意正整数 \(n\in\mathbb N^{\ast}\),都有 \(a_n>0\) \(a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2\)

1)求证:\(a_{n+2}<a_{n+1}<2\)

2)求证:\(a_n>1\)

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练习题集[99]基础练习

1.设函数$f(x)=ax+\sin x+\cos x$,若函数$f(x)$的图象上存在不同的两点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$使得函数$y=f(x)$在点$A,B$处的切线互相垂直,则实数$a$的取值范围为_______.

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每日一题[1062] P 子集

已知集合 $$A(n)=\left\{k\mid 1\leqslant k\leqslant \dfrac{3^n-1}{2},k\in\mathbb N^{\ast}\right\},$$其中$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$.若存在非空集合 $S_1,S_2,\cdots,S_n$,使得 $A(n)=S_1\cup S_2\cup \cdots \cup S_n$,且 $S_i\cap S_j=\varnothing $($1\leqslant i<j\leqslant n$),并对任意 $x,y\in S_i$($i=1,2,\cdots,n$),$x>y$,都有 $x-y\notin S_i$,则称集合 $A(n)$ 具有性质 $P$,$S_i$($i=1,2,\cdots,n$)称为集合 $A(n)$ 的 $P$ 子集.
(1)试说明集合 $A(2)$ 具有性质 $P$,并写出相应的 $P$ 子集 $S_1,S_2$;
(2)若集合 $A(n)$ 具有性质 $P$,集合 $T$ 是集合 $A(n)$ 的一个 $P$ 子集,设 $T'=\left\{s+3^n\mid s\in T\right\}$,求证:任意 $x,y\in T\cup T'$,$x>y$,都有 $x-y\notin T\cup T'$;
(3)求证:对任意正整数 $n\geqslant 2$,集合 $A(n)$ 具有性质 $P$.

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每日一题[1061]信手拈来

过点 \(A(-4,0)\) 向椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 引两条切线,切点分别为 \(B,C\),若 \(\triangle ABC\) 为正三角形,则当 \(ab\) 最大时,椭圆的方程是____________.

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每日一题[1060]内接正三角形

如图,在 \(\triangle AOB\) 中,\(\angle AOB=90^\circ\),\(OA=1\),\(OB=\sqrt 3\),等边 \(\triangle EFG\) 的三个顶点分别在 \(\triangle AOB\) 的三边上运动,则 \(\triangle EFG\) 边长的最小值为(  )

A.\(\dfrac12\)
B.\(\dfrac 23\)
C.\(\dfrac{\sqrt{21}}7\)
D.\(\dfrac{\sqrt 6}4\)

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每日一题[1059]抽丝剥茧

已知 \(f(x)=\ln(x+1)-\dfrac{x}{(x+1)^a}\),其中 \(a>0\).若 \(\forall x>0,f(x)<0\),求实数 \(a\) 的取值范围.

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每日一题[1058]二次复二次

已知函数 \(f(x)=ax^2+2x+1\),若对任意 \(x\in\mathbb R\),都有 \(f(f(x))\geqslant 0\) 恒成立,则实数 \(a\) 的取值范围是________.

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每日一题[1057]二元最值

已知 \(x,y>0\),求 \(m=6\left(x^2+y^2\right)(x+y)-4\left(x^2+xy+y^2\right)-3(x+y)+5\) 的最小值.

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每日一题[1056]无招胜有招

已知坐标平面 \(xOy\) 内椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)(\(a>b>0\))上一点 \(P(x_0,y_0)\),\(F_1,F_2\) 是椭圆的两个焦点,过 \(F_1,F_2\) 作椭圆在 \(P\) 点处切线的垂线,垂足分别为 \(M,N\).

(1)求证:点 \(M,N\) 在定圆上;
(2)求 \(MF_1\cdot NF_2\) 的值.

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每日一题[1055]一题多解求值域

函数 \(y=x+\sqrt{x^2-2x+3}\) 的值域是_______.

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