每日一题[2108]组合计数

设集合 $A=\{1,2,3,\cdots,2045\}$,如果 $A$ 的子集 $S$ 的任何一个元素都不是另一个元素的三倍,就称集合 $S$ 是三倍自由的.三倍自由集合 $S$ 中元素个数最多的集合个数为 $n$,且 $n$ 可以表示为 $p^aq^b$ 的形式,其中 $p,q$ 为质数,$a,b$ 为正整数.若 $N=p^2+q^2+a^2+b^2$,则 $N$ 的末三位数是_______.

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每日一题[2107]复杂旋转体

如图,矩形 $ABCD$ 中,$AB=3$,$BC=4$,以 $BD$ 所在的直线为轴将此矩形旋转一周,则所得旋转体的表面积为_______,体积为_______.

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每日一题[2106]四通八达

当函数 $f(x)=\dfrac{ax^3-x^2+4a}{{\rm e}^x-1}$ 的图象经过的象限个数最多时,实数 $a$ 的取值范围_______.

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每日一题[2105]韦达定理全家福

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的左、右顶点分别为 $A_1(-2,0)$,$A_2(2,0)$,离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$,点 $M$ 在 $x$ 轴上,直线 $l$ 经过点 $M$ 交椭圆 $C$ 于 $A,B$ 两点(异于 $A_1,A_2$ 两点).

1、求椭圆 $C$ 的标准方程.

2、 若 $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$,$O$ 为坐标原点,当 $\triangle AOB$ 的面积取最大值时,求 $|AB|$ 的值.

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每日一题[2104]旋转全等

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知圆 $C_1:(x+3)^2+(y-1)^2=4$ 和圆 $C_2:(x-4)^2+(y-5)^2=4$.

1、若直线 $l$ 过点 $A(-4,0)$,且被圆 $C_1$ 截得的最长弦为 $AB$,最短弦为 $CD$,求四边形 $ABCD$ 的面积.

2、设 $P$ 为平面上的点,满足:存在过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_1$ 和 $l_2$,它们分别与圆 $C_1$ 和圆 $C_2$ 相交,且直线 $l_1$ 被圆 $C_1$ 截得的弦长与直线 $l_2$ 被 $C_2$ 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 $P$ 的坐标.

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每日一题[2103]平方数不定方程

求所有正整数对 $(m,n)$ 使得 $\dfrac{n^2+1}{2m}$ 和 $\sqrt{2^{n-1}+m+4}$ 均为整数.

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每日一题[2102]独立事件

一个正八面体,八个面分别标以数字 $1$ 到 $8$,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触到的面上的数字,得到样本空间 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$.构造恰当的事件 $A,B,C$,使得\[P(ABC)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C),\]但不满足 $A,B,C$ 两两独立.

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每日一题[2101]分式整理

已知 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$,求证:\[\dfrac{ab}{a^5+ab+b^5}+\dfrac{bc}{b^5+bc+c^5}+\dfrac{ca}{c^5+ca+a^5}\leqslant 1.\]

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每日一题[2100]百花齐放

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$,椭圆 $C$ 的长轴长为 $\sqrt 6$.

1、求椭圆 $C$ 的方程.

2、若直线 $l:x+y+m=0$($m>0$)与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点且 $OA\perp OB$,求 $m$ 的值及以 $AB$ 为直径的圆的周长.

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每日一题[2099]平方数的特征

设集合 $M=\{ t \mid t=m^2-n^2,~m,n\in\mathbb Z\}$.

1、证明:$M$ 中的任意两个元素的乘积也是 $M$ 的元素.

2、判断 $32,33,34$ 是否在集合 $M$ 中,并说明理由.

3、写出偶数 $2k$($k\in\mathbb Z$)在集合 $M$ 中的一个充要条件,并给出证明.

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