平面上给定 $5$ 个点，任意三点不共线，过任意两点作直线．已知任意两条直线既不平行也不垂直，过 $5$ 点中任意一点向另外四点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的 $5$ 点）个数至多有_______个．
每日一题[2075]间隔染色
是否存在整数集 $\mathbb Z$ 上的函数 $f: \mathbb{Z} \to \{-1,0,1\}$，对任意的整数 $x, y \in \mathbb{Z}$，只要 $|x-y| \in\{2,3,5\}$ 就有 $f(x) \neq f(y)$？证明你的结论．
每日一题[2074]根系关系
设 $n$ 是正整数，$f(x)$ 是 $n$ 次多项式，并且对任意的 $k \in\{0,1, 2,\cdots, n\}$ 都有 $f(k)=\dfrac{n-k}{k+1}$，求 $f(n+1)$．
每日一题[2073]换元
已知 $0<a<b$，求证：$\dfrac{\arctan b-\arctan a}{b-a}>\dfrac{1}{\sqrt{1+a^{2}}\cdot \sqrt{1+b^{2}}}$．
每日一题[2072]引入参数
函数 $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+26}+\sqrt{14-x}$ 的最大值是_______．
每日一题[2070]内外心重合
如果 $\cos x+\cos y+\cos z=0$，$ \sin x+\sin y=\sin z$，那么 $ \cos ^{2} x+\cos ^{2} y+\cos ^{2} z=$ _______．
每日一题[2069]左右逢源
已知 $1+\sqrt 2+\cdots+\sqrt n<C\cdot (n+1)^{\frac 32}$，求证：当 $C=\dfrac 23$ 时，不等式恒成立，且 $C<\dfrac 23$ 时该不等式不恒成立．
每日一题[2068]强硬分离
已知 $f(x)=x^3+ax^2-x+1-a$，且对任意 $x\in [-1,1]$，$|f(x)|\geqslant |x|$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．