Math173

将正偶数按照如下方式进行分组：
\[(2),\ (4,6),\ (8,10,12),\ \cdots,\]设第$n\ \left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$组数的和为$a_n$，求数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和$S_n$．

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在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱$AB$的中点为$P$．若光线从$P$出发，依次经过三个侧面$BCC_1B$，$DCC_1D_1$，$ADD_1A_1$反射后，落到侧面$ABB_1A_1$(不包括边界)，求入射光线$PQ$与侧面$BCC_1B_1$所成角的正切值的取值范围．

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已知$a,b\in \mathbb R$且$0\leqslant a+b\leqslant 1$，函数$f(x)=x^2+ax+b$在区间$\left[-\dfrac 12,0\right]$上至少存在一个零点，求$a-2b$的取值范围．

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定义$g(n)$为自然数$n$中所有因数中的最大奇数，求$$M(n)=g(1)+g(2)+\cdots+g\left(2^n-1\right)$$的值．

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在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，$C\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$，且$\triangle ABC$的面积为$2$，求$(c+a-b)(c+b-a)$的取值范围．
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已知函数$f(x)=\ln x+\dfrac ax$，其中$a>0$．

(1) 若函数$f(x)$有零点，求实数$a$的取值范围；

(2) 求证：当$a\geqslant \dfrac{2}{\rm e}$，$b>1$时，$f(\ln b)>\dfrac 1b$．

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设$\triangle ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$a\leqslant b\leqslant c$，定义$\triangle ABC$的倾斜度\[t=\max\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}\cdot \min\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}.\]
(1) 若$\triangle ABC$为等腰三角形，求$\triangle ABC$的倾斜度；

(2) 若$a=1$，求$t$的取值范围．

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已知函数$f(x)={\log_2}x-2{\log_2}(x+c)$，其中$c>0$．若对于任意的$x\in (0,+\infty)$，都有$f(x)\leqslant 1$，求实数$c$的取值范围．

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已知抛物线$y=\dfrac 14x^2$和$y=-\dfrac{1}{16}x^2+5$所围成的封闭曲线如图所示，给定$A(0,a)$，若在此时封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点$A$对称，求实数$a$的取值范围．

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已知$f\left( x \right)$是定义在$\left( {0 , + \infty } \right)$上的可导函数，满足$f\left( x \right) > 0$，且$f\left( x \right) + f'\left( x \right) < 0$．

(1) 讨论函数$F\left( x \right) = {{\rm{e}}^x}f\left( x \right)$的单调性；

(2)设$0 < x < 1$，比较$xf\left( x \right)$与$\dfrac{1}{x}f\left( {\dfrac{1}{x}} \right)$的大小．

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