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每日一题1001题序
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每日一题[1221]均值不等式
已知 $a,b,c>0$，且 $abc=\dfrac 14$，求证：$(b+1)(c+1)(a+b)(a+c)>4$．
每日一题[1220]分类估计
已知 $x,y$ 为实数，且满足 $\begin{cases} (x-1)^3-2017(x-1)=-1,\\ (y-1)^3-2017(y-1)=1,\end{cases}$ 则 $x+y$ 的值（ ）
A．一定等于 $2$
B．一定小于 $92$
C．一定小于 $90$
D．一定大于 $-92$
每日一题[1218]复数与数列
设数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1=a_2=1$，$b_1=1$，$b_2=3$，$a_{n+2}=4a_{n+1}-5a_n$，$b_{n+2}=4b_{n+1}-5b_n$，其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$|a_1b_1|+|a_2b_2|+\cdots+|a_nb_n|<5^n$．
每日一题[1217]论证与构造
设 $F(x)=|f(x)\cdot g(x)|$，$x\in[-1,1]$，其中 $f(x)=ax^2+bx+c$，$g(x)=cx^2+bx+a$，且对任意 $x\in [-1,1]$，均有 $|g(x)|\leqslant 1$，求 $F(x)$ 的最大值．
每日一题[1216]变换化简
设 $M(x_0,y_0)$ 为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）内部一点且 $M$ 位于第一象限，过点 $M$ 作直线交双曲线的右支于点 $A,B$，记 $O$ 为坐标原点，若 $\triangle AOB$ 的面积最小值为 $\sqrt{b^2x_0^2-a^2y_0^2}$，则 $\dfrac{3x_0}a-\dfrac{y_0}b$ 的最小值为_______．
每日一题[1215]端点分析
已知函数 $f(x)=\sin x+\tan x-2x$．
1、求证：函数 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增；
2、若 $\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),f(x)>mx^2$，求实数 $m$ 的取值范围．
每日一题[1214]无巧不成书
已知函数 $f(x)=x-\ln(x+2)+{\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x}$，若存在实数 $x_0$，使 $f(x_0)=3$ 成立，则实数 $a$ 的值为（ ）
A．$\ln 2$
B．$\ln 2-1$
C．$-\ln 2$
D．$-\ln 2-1$
每日一题[1213]三角与几何
如图，点 $P$ 为矩形 $ABCD$ 内一点，$\angle PAB=20^\circ$，$\angle PBA=10^\circ$，$\angle APD=70^\circ$，则 $\angle BPC=$ _______．
每日一题[1212]导数原型
设 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上可导的奇函数，$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数．已知 $x>0$ 时 $f(x)<f'(x)$，$f(1)={\rm e}$，不等式\[0<f\left(\ln (x+\sqrt{1+x^2})\right)\leqslant x+\sqrt{1+x^2}\]的解集为 $M$，则在 $M$ 上，$g(x)=\sin 6x$ 的零点个数为_______．