Math173

两条动直线 $y=k_1 x$ 和 $y=k_2 x$ 分别与抛物线 $C:~ y^2=2 p x$（$p>0$）相交于不同于原点的 $A,B$ 两点，当 $\triangle OAB$ 的垂心恰是 $C$ 的焦点时，$|AB|=4\sqrt 5$．

1、求 $p$．

2、若 $k_1 k_2=-4$，弦 $AB$ 中点为 $P$，点 $M(-2,0)$ 关于直线 $AB$ 的对称点 $N$ 在拋物线 $C$ 上，求 $\triangle PMN$ 的面积．

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已知 $f(x)=-\dfrac 1 2\mathrm e^{2 x}+4\mathrm e^x-a x-5$．

1、当 $a=3$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间．

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，证明：$f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+x_1+x_2<0$．

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如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置 $0$ 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动 $n$ 次后质点位于位置 $X_n$．

1、求 $P\left(X_4=-2\right)$．

2、求 $E\left(X_n\right)$．

3、指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．

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在一个有限样本空间中，假设 $P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac 1 3$，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 互斥，则（       ）

A．$P(A\cup B)=\dfrac 2 3$

B．$P(\overline C\mid A)=2 P(A\mid\overline C)$

C．$P(\overline C\mid AB)=1$

D．若 $P(C\mid B)+P(C\mid\overline B)=\dfrac 1 2$，则 $B$ 与 $C$ 互斥

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