每日一题[2187]切割线放缩
设 $a,b,c,d,e,f>0$，且满足 $abcdef=1$，求证：\[\sum_{\rm cyc}\dfrac{2a+1}{a^2+a+1}\leqslant 6.\]
每日一题[2186]剪裁出圆
已知 $ABCDEF$ 是各内角相等的六边形，$AB=6$，$BC=8$，$CD=10$，$DE=12$．设 $d$ 是包含于该六边形的最大的圆的直径，则 $d^2=$ _______．
每日一题[2185]暴力计算
设 $a,b\in\mathbb R$，若 $x{\rm e}^x-\ln x\geqslant ax^2+b+1$ 对任意 $x>0$ 恒成立，则当 $ab$ 取得最大值时，$\dfrac 1a+2\ln b=$_______．
每日一题[2184]切割线放缩
对于任意的正实数 $a,b,c$，且 $a+b+c=3$，求证：\[\dfrac {a}{b^3+2}+\dfrac{b}{c^3+2}+\dfrac{c}{a^3+2}>\dfrac 56.\]
每日一题[2183]左右开弓
在三棱锥 $P-ABC$ 中，底面 $ABC$ 是以 $AC$ 为斜边的等腰直角三角形，且 $AB=2$，$PA=PC=\sqrt 5$，$PB$ 与底面 $ABC$ 所成的角的余弦值为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$，则三棱锥 $P-ABC$ 的外接球的半径为_______．
每日一题[2182]生成函数
一个标准的正方体骰子被投掷 $4$ 次，投掷出的数字的乘积恰为完全平方数的概率的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$_______．
每日一题[2181]贯穿双足
锐角三角形 $ABC$ 中，$P,Q$ 分别为 $C,B$ 在对边上的投影，直线 $PQ$ 交 $\triangle ABC$ 的外接圆于点 $X,Y$．设 $XP=10$，$PQ=25$，$QY=15$，则 $AB\cdot AC=$ _______．
每日一题[2180]拼邮票
若正整数 $n$ 满足：给定不限数量的 $5,n,n+1$ 分的邮票，使得 $91$ 分是最大的不能被直接拼出的邮费，则所有这样的正整数 $n$ 的和为_______．