已知 $f(x),g(x)$ 都是定义在 $\mathbb R$ 上的可导函数,且 $f(x+3)=g(-x)+4$,$f'(x)+g'(1+x)=0$,函数 $g(2x+1)$ 为偶函数,则下列说法正确的有( )
A.$g'(1)=0$
B.函数 $f(x)$ 的图象关于 $x=2$ 对称
C.函数 $f'(x)$ 的图象关于 $x=1$ 对称
D.$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f'(k)g'(k)=1$
已知 $f(x),g(x)$ 都是定义在 $\mathbb R$ 上的可导函数,且 $f(x+3)=g(-x)+4$,$f'(x)+g'(1+x)=0$,函数 $g(2x+1)$ 为偶函数,则下列说法正确的有( )
A.$g'(1)=0$
B.函数 $f(x)$ 的图象关于 $x=2$ 对称
C.函数 $f'(x)$ 的图象关于 $x=1$ 对称
D.$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f'(k)g'(k)=1$
如图,以 $AI$ 为直径的半圆上有点 $B,D,F,H$,直线 $AI$ 上有点 $C,E,G$,满足 $\triangle ABC,\triangle CDE,\triangle EFG,\triangle GHI$ 是相似的等腰三角形,则 $\angle ABC=$_______.
已知 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的定义域均为 $\mathbb R$,且 $f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)$,$f(-2)=f(1)\ne 0$,$g(-1)=g(2)$,则下列说法正确的有( )
A.$g(0)=1$
B.函数 $f(2x-1)$ 的图象关于点 $\left(\dfrac 12,0\right)$ 对称
C.$g(1)+g(-1)=1$
D.若 $f(1)=\dfrac{\sqrt 3}2$,则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f(k)=\dfrac{\sqrt 3}2$
已知 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的定义域均为 $\mathbb R$,且满足\[\begin{cases} f(x+1)=-\dfrac 12f(x)+\dfrac{\sqrt 3}2g(x),\\ g(x+1)=-\dfrac 12g(x)-\dfrac{\sqrt 3}2f(x),\end{cases}\]且 $f(x)=f(5-x)$,$g(365)=-\sqrt 3$,则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f(k)=$_______.
如图,半圆 $O$ 的直径 $AB=2$,$C$ 为圆弧上(不包含端点)的动点,点 $M,N$ 分别在以线段 $AC,BC$ 为直径的半圆弧上运动,则 $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{OC}$ 的最大值为_______.
已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}x+\dfrac 1x+x$ 的图象上有 $3$ 个点 $M,N,P$,横坐标分别为 $x_1,x_2,1$.
1、 求函数 $f(x)$ 在 $P$ 处的切线 $l$ 的方程.
2、若直线 $MN\parallel l$,求证:$2<\dfrac 1{x_1}+\dfrac{1}{x_2}<{\rm e}$.
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax$ 有两个零点 $x_1,x_2$,求证:$\left|\ln\dfrac{x_1}{x_2}\right|<\sqrt{a^2-2a-1}\cdot x_1\cdot x_2$.
已知 $a=\left(\dfrac{9}{8}\right)^{\frac{10}{9}}$,$b={\log _8 }9$,$ c={\log _9} 10$,则 $a, b, c$ 的大小关系为( )
A.$c>b>a$
B.$b>a>c$
C.$a>b>c$
D.$a>c>b$
已知函数 $f(x)=-\dfrac{\ln^2 x}{2}+x+\ln x-1$,$g(x)=(x-1) \mathrm{e}^x-\dfrac{a x^2}{2}+a^2$,$a<1$.
1、判断 $f(x)$ 的单调性.
2、若 $g(x)$ 有唯一零点,求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} x^2-a x-1$($a \in \mathbb{R}$).
1、若不等式 $f(x) \geqslant 0$ 在 $x \in[0,+\infty)$ 上恒成立,求实数 $a$ 的取值范围.
2、若 $x>0$,求证:$\left(\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} x^2+1\right) \ln (x+1)>2 x$.