2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #19
已知关于 $x$ 的方程 $x^2-ax+9a=0$ 的解均为正整数，则实数 $a$ 的所有可能取值个数为_____．
每日一题[3717]递推公式
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #14
已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_n+a_{n-1}=2+\dfrac{3n^2+n}{a_n-a_{n-1}}$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast} $），则 $ a_{2025}=$ _____．
每日一题[3716]阿波罗尼斯圆
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #13
已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=45$，$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1012}{1013}$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值是_____．
每日一题[3715]伪装数列
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #11
已知不等式 $a_n^2+\left(\dfrac{S_n}n\right)^2\geqslant \lambda a_1^2$ 对任意等差数列 $\{a_n\}$ 以及正整数 $n$ 都成立，其中 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 $\lambda$ 的最大值为_____．
每日一题[3714]三角计算
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #8
在复平面上复数 $z_1,z_2$ 对应的点分别为 $Z_1,Z_2$，$O$ 为原点，若 $|z_1|=4$，$4z_1^2-2z_1z_2+z_2^2=0$，则 $\triangle OZ_1Z_2$ 的面积为_____．
每日一题[3713]二项式变形
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #7
已知 $(5+x-5x^2)^{1012}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2024}x^{2024}$，则 $2a_1+4a_3+6a_5+\cdots+2024 a_{2023}=$ _____．
每日一题[3712]分数近似
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #5
已知 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，且 $m,n\leqslant 1000$，则 $\dfrac m{n+1}<\sqrt 3<\dfrac{m+1}n$ 的解 $(m,n)$ 的个数为_____．