Math173

如图，在 $\triangle ABD$ 中，点 $C$ 在 $AD$ 上，$\angle ABC= \dfrac {\pi}2$，$\angle DBC= \dfrac {\pi}6$，$AB=CD=1$，则 $AC=$_______．

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已知椭圆 $C:\dfrac{x^2} {a^2}+\dfrac{y^2} {b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt3} 2$，并且过点 $P(2,-1)$．

1、求$C$ 的方程．

2、设点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，且 $PQ$ 与 $x$ 轴平行，过 $P$ 点作两条直线分别交椭圆 $C$ 于点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．若直线 $PQ$ 平分 $\angle APB$，求证：直线 $AB$ 的斜率是定值，并求出这个定值．

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已知抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）和动直线 $ l:y=kx+b $（$ k,b $ 是参变量，且 $ k\neq 0 $，$ b\neq 0 $）相交于 $ A(x_1,y_1)$，$ B(x_2,y_2)$ 两点，平面直角坐标系的原点为 $ O $，记直线 $ OA,OB $ 的斜率分别为 $ k_{OA},k_{OB} $，若 $ k_{OA}\cdot k_{OB}=\sqrt3 $ 恒成立，则当 $ k $ 变化时直线 $ l$ 恒经过的定点为（       ）

A．$\left(-\sqrt3p,0\right)$

B．$\left(-2\sqrt3p,0\right)$

C．$\left(-\dfrac{\sqrt3p} 3,0\right)$

D．$\left(-\dfrac{2\sqrt3p} 3,0\right)$

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已知 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 为平面上的单位向量，$\left|\overrightarrow c\right|=\sqrt{26}$，且 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c=1$，则 $\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|+\left|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c\right|$ 的最大值为_______．

答案       $\sqrt{29}$．

解析       如图，$A,B$ 是单位圆 $O$ 上的点，$OC=\sqrt{26}$，$OA\perp AC$，$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow c $．

设 $ OC $ 到 $ OB $ 的角为 $ \theta $，则 $ OA $ 到 $ OB $ 的角为 $ \theta-\arctan 5$，进而\[\begin{split} \left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|+\left|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c\right|&=|\cos(\theta-\arctan 5)|+\sqrt{26}\cdot |\cos\theta|\\ &=\dfrac{\left|\cos\theta+5\sin\theta\right|+26|\cos\theta|}{\sqrt{26}}\\ &\leqslant \dfrac{27|\cos\theta|+5|\sin\theta|}{\sqrt{26}}\\ &\leqslant \dfrac{\sqrt{27^2+5^2}}{\sqrt{26}}\\ &=\sqrt{29},\end{split}\]等号当 $\theta=\arctan\dfrac{5}{27}$ 时取得，因此所求最大值为 $\sqrt{29}$．

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$．过点 $D(1,0)$ 且不经过点 $M(1,1)$ 的直线与椭圆交于 $P,Q$ 两点，直线 $MQ$ 与直线 $x=4$ 交于 $E$ 点，直线 $PE$ 与直线 $MD$ 交于 $N$ 点．求证：$\triangle EMN$ 的面积为定值．

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设函数 $f(x)=x-\dfrac{2}{x}-a\ln x$（$a \in \mathbb{R}$，$a>0$）．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1$ 和 $x_2$，记过点 $A(x_1,f(x_1))$，$B(x_2,f(x_2)$ 的直线的斜率为 $k$，问：是否存在 $a$，使得 $k=2-a$？若存在，求出 $a$ 的值，若不存在，请说明理由．

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在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB=4$，$AC=3$，$P$ 是边 $BC$ 的垂直平分线上的一点，则 $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow {AP}=$ _______．

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已知不等式 $3\sin ^2x-\cos ^2x+4a\cos x+a^2 \leqslant 31$ 对一切 $x \in \mathbb R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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设命题 $p$：关于 $x$ 的不等式 $a_1x^2+b_1x+c_1>0$ 与 $a_2x^2+b_2x+c_2>0$ 的解集相同；命题 $q$：$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$；则命题 $q$ 是命题 $p$ 的（       ）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

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已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是等差数列，其前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，若 ${S_4} = 10$，${S_{13}} = 91$．

1、求 ${S_n}$．

2、若数列 $ \left\{M_{n}\right\} $ 满足条件：${M_1} = {S_{t_1}}$，当 $n \geqslant 2$ 时，${M_n} = {S_{t_n}} - {S_{{t_{n - 1}}}}$，其中数列 $\left\{ {t_n} \right\}$ 单调递增，且 ${t_1} = 1$，${t_n} \in {\mathbb N^ * }$．

① 试找出一组 ${t_2},{t_3}$，使得 $M_2^2 = {M_1} \cdot {M_3}$；

② 证明：对于数列 $\left\{ {a_n} \right\}$，一定存在数列 $\left\{ {t_n} \right\}$，使得数列 $\left\{ {M_n} \right\}$ 中的各数均为一个整数的平方．

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