怪物猎人战绩排行榜

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题拍拍征解问题[24]

已知 $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=0$,求\[\csc^2\alpha+\csc^2\beta+\csc^2\gamma-2|\csc\alpha\csc\beta\csc\gamma|\]的值.

 

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题拍拍征解问题[23]

证明:对于任意素数 $p$,都有一个 $p$ 的倍数 $kp$,使得 $kp$ 的十进制表示下后 $10$ 位的数字互不相同.

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题拍拍征解问题[22]

给定 $k$($k\in\mathbb N^{\ast}$)种颜色,对每个正整数都用 $k$ 种颜色中的一种进行染色.求证:无论怎么染色,一定存在四个颜色相同的正整数 $a,b,c,d$($a,b,c,d$ 互不相同),满足下面三个条件:① $ad=bc$;② $\dfrac ba=2^m$;③ $\dfrac ca=3^n$;其中 $m, n$ 为正整数.

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题拍拍问题征解[21]

一个等差数列有 $8$ 个依次递增的自然数,它们的数字和却依同样的顺序成递减的等差数列,这样的 $8$ 个数之和的最小值是多少?

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每日一题[2259]内外半径

已知双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$($a>0$,$b>0$)的焦点为 $F_{1}, F_{2}$,$P$ 是双曲线上一点,且 $\angle F_{1} P F_{2}=\dfrac{\pi}{3}$.若 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 的外接圆和内切圆的半径分别为 $R, r$,且 $ R=4 r$,则双曲线的离心率 $e$ 为_______.

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每日一题[2258]韦达定理

已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$,$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$,则 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 的最小值是(       )

A.$\dfrac{1}{3}$

B.$\dfrac{5}{9}$

C.$\dfrac{7}{9}$

D.$1$

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每日一题[2257]中垂面

在棱长为 $4 \sqrt{2}$ 的正四面体 $A-B C D$ 中,点 $E, F$ 分别为直线 $A B, C D$ 上的动点,点 $P$ 为 $E F$ 中点,$Q$ 为正四面体中心(满足 $QA=QB=QC=QD$),若 $PQ=\sqrt 2$,则 $EF$ 的长度为(       )

A.$2 \sqrt{6}$

B.$\sqrt{6}$

C.$3$

D.$2$

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每日一题[2256]擦身而过

已知函数 $f(x)=\begin{cases} \cos\dfrac{\pi x}2-1,&x\geqslant 0,\\ -{\log_a}(-x),&x<0,\end{cases}$($a>0$ 且 $a \neq 1$),使得函数图象上关于原点对称的点至少有 $3$ 对的充分条件是(       )

A.$a\in\left(0, \dfrac{\sqrt{6}}{6}\right)$

B.$a\in\left(\dfrac{\sqrt{6}}{6}, 1\right)$

C.$a\in\left(0, \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)$

D.$a\in\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}, 1\right)$

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每日一题[2255]焦半径与焦点弦

已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$,原点为 $O,$ 椭圆的动弦 $A B$ 过焦点 $F$ 且不垂直于坐标轴,弦 $A B$ 的中点为 $N$,椭圆 $C$ 在点 $A, B$ 处的两切线的交点为 $M$.

1、求证:$O, M, N$ 三点共线.

2、求 $\dfrac{|A B| \cdot|F M|}{|F N|}$ 的最小值.

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每日一题[2254]三角不等式

已知 $|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|=2$,则 $3|\boldsymbol a+\boldsymbol b|+2|\boldsymbol a -\boldsymbol b|$ 的最大值是_______;最小值是_______.

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