Math173

如图，已知椭圆$\Gamma$的一个焦点为$F$，与其对应的准线为$l$．直线$AB$交椭圆$\Gamma$于$A,B$两点，交准线$l$于点$C$．直线$AF$交准线$l$于点$D$．求证：$FC$平分$\angle BFD$．
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已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$的短轴长为$2\sqrt{3}$，右焦点为$F(1,0)$，
点$M$是椭圆$C$上异于左、右顶点$A,B$的一点．
(1) 求椭圆$C$的方程；
(2) 若直线$AM$与直线$x=2$交于点$N$，线段$BN$的中点为$E$．证明：点$B$关于直线$EF$的对称点在直线$MF$上．

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据统计某超市两种蔬菜$A,B$连续$n$天价格分别为$a_1,a_2,\cdots,a_n$和$b_1,b_2,\cdots,b_n$，令$$M=\left\{m\left|\ a_m<b_m,\ m=1,2,\cdots,n\right.\right\},$$若$M$中元素个数大于$\dfrac{3}{4}n$，则称蔬菜$A$在这$n$天的价格低于蔬菜$B$的价格，记作$A\prec B$．现有三种蔬菜$A,B,C$，下列说法正确的是(　　)
A．若$A\prec B,B\prec C$，则$A\prec C$
B．若$A\prec B,B\prec C$同时不成立，则$A\prec C$不成立
C．$A\prec B,B\prec A$可同时不成立
D．$A\prec B,B\prec A$可同时成立

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各项均为非负整数的数列$\left\{a_n\right\}$同时满足下列条件：
①$a_1=m$，其中$m\in \mathbb{N}^{*}$；
②当正整数$n \geqslant 2$时，恒有$a_n \leqslant n-1$；
③对任意正整数$n$，均有$n$是$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$的因数．
(1) 当$m=5$时，写出数列$\left\{a_n\right\}$的前五项；
(2) 若数列$\left\{a_n\right\}$的前三项互不相等，且正整数$n \geqslant 3$时，$a_n$为常数，求$m$的值；
(3) 求证：对任意正整数$m$，都存在正整数$M$，只要正整数$n \geqslant M$，均有$a_n$为常数．

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已知函数$f(x)=\mathrm{e}^x+x^2-x$，$g(x)=x^2+ax+b$，其中$a,b$均为实数．
(1) 当$a=1$时，求函数$F(x)=f(x)-g(x)$的单调区间；
(2) 若曲线$y=f(x)$在点$(0,1)$处的切线$l$与曲线$y=g(x)$切于点$(1,c)$，求$a,b,c$的值；
(3) 若$f(x)\geqslant g(x)$恒成立，求$a+b$的最大值．

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已知两个集合$A,B$满足$B\subseteq A$．若对任意$x\in A$，存在$a_i,a_j\in B\ \left(i\ne j\right)$，使得\[x=\lambda_1a_i+\lambda_2a_j\ \left(\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,0,1\}\right),\]则称$B$为$A$的一个基集．若$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$，则其基集$B$的元素个数的最小值是_______．

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给定正整数$n$，已知用克数都是正整数的$k$块砝码和一台天平，可以称出质量为$1,2,3,\cdots,n$克的所有物品．求$k$的最小值$f(n)$．

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设$P$为曲线$C_1$上的动点，$Q$为曲线$C_2$上的动点，则称$|PQ|$的最小值为曲线 $C_1,C_2$之间的距离，记作$d\left(C_1,C_2\right)$．
(1)若\[C_1:x^2+y^2=2,\ C_2:(x-3)^2+(y-3)^2=2,\]则$d\left(C_1,C_2\right)=$_______；
(2)若\[C_3:\mathrm{e}^x-2y=0,\ C_4:\ln x+\ln 2=y,\]则$d\left(C_3,C_4\right)=$_______．

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中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”的六场传统文化知识竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为$a,b,c$，其中$a>b>c$且$a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为$26$分，乙和丙最后得分都为$11$分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是(　　)
A．$a=4$
B．甲可能有一场比赛获得第二名
C．乙有四场比赛获得第三名
D．丙可能有一场比赛获得第一名

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已知函数\[f(x)=\begin{cases}\log_ax,&x>0,\\|x+3|,&-4 \leqslant x<0,\end{cases}\]其中$a>0$且$a\ne 1$．若函数$f(x)$的图象上有且只有一对点关于$y$轴对称，则$a$的取值范围是______．
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