每日一题[2686]泰勒展开

已知函数 $f(x)=x{\rm e}^x-\dfrac a2x(x+2)-1$($a\in\mathbb R$).

1、若 $x=-1$ 为 $f(x)$ 的极小值点,求 $a$ 的取值范围.

2、若 $f(x)$ 有唯一的极值 $-\dfrac{1}{\rm e}-1$,证明:$\forall x\geqslant -1,f(x)+1\geqslant \sin x$.

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每日一题[2685]朗博函数

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln (x+1)+1}{x+1}+a$($a \in \mathbb{R}$).

1、若 $f(x)$ 只有 $1$ 个零点,求 $a$ 的取值范围.

2、若关于 $x$ 的不等式 $f(x-1)-\mathrm{e}^{x} \geqslant 0$ 有解,求 $a$ 的取值范围.

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每日一题[2684]指对三角

已知函数 $f(x)=1-{\rm e}^{x}-x+\sin x+t \ln (1+x)$($t \in \mathbb{R}$).

1、当 $t=1$ 时,求 $f(x)$ 的单调区间.

2、当 $t \geqslant 1$ 时,求证:$f(x)<2+\sqrt{2}+t \ln t$.

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每日一题[2683]韦达定理

在 $\triangle A B C$ 中,角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$,已知 $(a+b)(\sin A-\sin B)=c(\sin C+\sin B)$,若角 $A$ 的内角平分线 $A D$ 的长为 $2$,则 $4 b+c$ 的最小值为(       )

A.$10$

B.$12$

C.$16$

D.$18$

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每日一题[2682]分离变量

已知函数 $f(x)=(x-1) \ln x+x^{2}-a x$.

1、当 $a=2$ 时,讨论 $f(x)$ 的单调性.

2、当 $x>0$ 时,$f(x) \geqslant x \ln x-{\rm e}^{x}$,求实数 $a$ 的取值范围.

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每日一题[2681]卖友求荣

已知函数 $f(x)=a \ln (1+x)-b x$($a, b \in \mathbb{R}$)在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x+2 y+1-2 \ln 2=0$.

1、求实数 $a, b$ 的值.

2、若函数 $g(x)=f(x)+\dfrac{t}{2} x^{2}$($t \geqslant 1$),试讨论函数 $g(x)$ 的零点个数.

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每日一题[2680]隐零点

已知函数 $f(x)=x \ln x-3 x$.

1、求 $f(x)$ 的极值.

2、若不等式 $f(x) \geqslant m x^{2}-3 x+\dfrac{2}{m}$ 恒成立,求实数 $m$ 的最小值.

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每日一题[2679]分离变量

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}(a-x)+x+1$.

1、若函数 $f(x)$ 的图象在区间 $[0,1]$ 上存在斜率为零的切线,求实数 $a$ 的取值范围.

2、当 $a=1$ 时,判断函数 $f(x)$ 零点的个数,并说明理由.

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每日一题[2678]最值两手

已知 $\tan \alpha \tan \beta=1$,则 $\cos \alpha \cos \beta$ 的最大值为(       )

A.$\dfrac{1}{2}$

B.$\dfrac{1}{4}$

C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

D.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

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每日一题[2677]对准

若将函数 $y=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}{4}\right)$($\omega>0$)的图像向右平移 $ \dfrac{\pi}{3} $ 个单位长度后,与函数 $ y=\cos \left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的图像重合,则 $ \omega$ 的最小值是(       )

A.$\dfrac{21}{4}$

B.$\dfrac{19}{4}$

C.$\dfrac{17}{4}$

D.$\dfrac{15}{4}$

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