勘误!勘误!勘误!(1月 15 日更新)

感谢读者朋友的批评指正,将勘误汇总如下,定期汇总为pdf供大家下载(请注意版次和时间).

继续阅读

发表在 每日一题 | 留下评论

每日一题[1491]四点共圆

如图,$F_1,F_2$ 是双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{4}=1$ 的两个焦点,一条直线与双曲线的右支相切,且分别交两条渐近线于 $A,B$.又设 $O$ 为坐标原点.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1490]三角和的正切

设 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $x^3-17x-18=0$ 的三个根,$-4<x_1<-3$,且 $4<x_3<5$.

1、求 $x_2$ 的整数部分.

2、求 $\arctan x_1+\arctan x_2 + \arctan x_3$ 的值.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1489]四球相切

半径分别为 $6,6,6,7$ 的四个球两两外切.它们都内切于一个大球,则大球的半径是_______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1488]和谐的向量

设 $W$ 是由平面内的 $n $($ n\geqslant 3 $)个向量组成的集合.若 $ \overrightarrow{a}\in W $,且 $ \overrightarrow{a} $ 的模不小于 $ W $ 中除 $ \overrightarrow{a} $ 外的所有向量之和的模,则称 $ \overrightarrow{a} $ 是 $ W $ 的一个极大向量.有下列命题:

① 若 $ W $ 中每个向量的方向都相同,则 $ W $ 中必存在一个极大向量;

② 给定平面内两个不共线向量 $ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} $,在该平面内总存在唯一的平面向量 $ \overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} $,使得 $ W=\left\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right\} $ 中的每个元素都是极大向量;

③ 若 $ W_1=\left\{\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2,\overrightarrow{a}_3\right\} $ 与 $ W_2=\left\{\overrightarrow{b}_1,\overrightarrow{b}_2,\overrightarrow{b}_3\right\} $ 中的每个元素都是极大向量,且 $ W_1\cap W_2=\varnothing $,则 $ W_1\cup W_2$ 中的每一个元素也都是极大向量.

其中真命题的序号有_______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 一条评论

每日一题[1487]等比放缩

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列 $\{a_{n}\}$ 是调和数列,对于各项都是正数的数列 $\{x_{n}\}$,满足 $x_{n}^{a_{n}}=x_{n+1}^{a_{n+1}}=x_{n+2}^{a_{n+2}}$($n\in\mathbb N^{*}$).

1、求证:数列 $\{x_{n}\}$ 是等比数列.

2、把数列 $\{x_{n}\}$ 中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,当 $x_{3}=8$,$x_{7}=128$ 时,求第 $m$ 行各数的和; \[\begin{array}{cccc}\\ x_{1}&&&\\ x_{2}&x_{3}&&\\ x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ x_{7}&x_{8}&x_{9}&x_{10}\\ \cdots&\cdots&&\\ \end{array}\]

3、对于 $(2)$ 中的数列 $\{x_{n}\}$,证明:$\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}<\dfrac{x_{1}-1}{x_{2}-1}+\dfrac{x_{2}-1}{x_{3}-1}+\cdots+\dfrac{x_{n}-1}{x_{n+1}-1}<\dfrac{n}{2}$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1486]变换P性质

对于各项均为整数的数列 $\{a_{n}\}$,如果 $a_{i}+i$($i=1,2,3,\cdots$)为完全平方数,则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“$P$ 性质”. 不论数列 $\{a_{n}\}$ 是否具有“$P$ 性质”,如果存在与 $\{a_{n}\}$ 不是同一个数列的 $\{b_{n}\}$,且 $\{b_{n}\}$ 同时满足下面两个条件; ① $b_{1},b_{2},b_{3},\cdots,b_{n}$ 是 $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ 是一个排列; ② 数列 $b_{n}$ 具有“$P$ 性质”,则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“变换 $P$ 性质”.

1、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\dfrac{n}{3}\left(n^{2}-1\right)$,证明数列 $\{a_{n}\}$ 具有“性质 $P$”.

2、试判断数列 $1,2,3,4,5$ 和数列 $1,2,3,\cdots,11$ 是否具有“变换 $P$ 性质”,具有此性质的数列请写出对应的数列 $\{b_{n}\}$,不具此性质的说明理由.

3、对于有限项数列 $A:1,2,3,\cdots,n$.某人已经验证当 $n\in[12,m^{2}](m\geqslant 5)$ 时,数列 $A$ 具有“变换 $P$ 性质”.试证明:当 $n\in\left[m^{2}+1,(m+1)^{2}\right]$ 时,数列 $A$ 也具有“变换 $P$ 性质”.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1485]分段数列

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足:$a_{1}=0$,$a_{n}=\begin{cases}2a_{\frac{n}{2}}+1,&2\mid n,\\ \dfrac{n+1}{2}+2a_{\frac{n-1}{2}},&2\nmid n\end{cases},n=2,3,4,\cdots$.

1、求 $a_{5},a_{6},a_{7}$.

2、设 $b_{n}=\dfrac{a_{2^{n}-1}}{2^{n}}$,试求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

3、对任意的正整数 $n$,试讨论 $a_{n}$ 与 $a_{n+1}$ 的大小关系.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1484]等比放缩

已知曲线 $C:xy=1$,过 $C$ 上一点 $A_{1}(x_{1},y_{1})$ 作斜率 $k_{1}$ 的直线,交曲线 $C$ 于另一点 $A_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$,再过 $A_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$ 作斜率为 $k_{2}$ 的直线,交曲线 $C$ 于另一点 $A_{3}(x_{3},y_{3})$,$\cdots$,过 $A_{n}\left(x_{n},y_{n}\right)$ 作斜率为 $k_{n}$ 的直线,交曲线 $C$ 于另一点 $A_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})$,$\cdots$,其中 $x_{1}=1$,$k_{n}=-\dfrac{x_{n}+1}{x_{n}^{2}+4x_{n}},x\in\mathbb N^{*}$.

1、求 $x_{n+1}$ 与 $x_{n}$ 的关系式.

2、判断 $x_{n}$ 与 $2$ 的大小关系,并证明你的结论.

3、求证:$|x_{1}-2|+|x_{2}-2|+\cdots+|x_{n}-2|<2$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1483]可重复数列

给定项数 $m$($m\in\mathbb N^{*}$,$m\geqslant 3$)的数列 $\{a_{n}\}$,其中 $a_{i}\in\{0,1\}$($i=1,2,\cdots,m$).若存在一个正整数 $k(2\leqslant k\leqslant m-1)$,若数列 $\{a_{n}\}$ 中存在连续的 $k$ 项和该数列中另一个连续的 $k$ 项恰好按次序对应,则称数列 $\{a_{n}\}$ 是“$k$ 阶可重复数列”,例如:数列 $\{a_{n}\}:0,1,1,0,1,1,0$.因为 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 与 $a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ 按次序对应相等,所以数列 $\{a_{n}\}$ 是“$4$ 阶可重复数列”.

1、分别判断下列数列:

① $\{b_{n}\}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0$;

② $\{c_{n}\}:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1$.

是否是“$5$ 阶重复数列”?如果是,请写出重复的这 $5$ 项.

2、若项数为 $m$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 一定是“$3$ 阶可重复数列”,则 $m$ 的最小值是多少?说明理由.

3、假设数列 $\{a_{n}\}$ 不是“$5$ 阶可重复数列”,若在其最后一项 $a_{m}$ 后再添加一项 $0$ 或 $1$,均可使新数列是“$5$ 阶可重复数列”,且 $a_{4}=1$,求数列 $\{a_{n}\}$ 的最后一项 $a_{m}$ 的值.

继续阅读

发表在 每日一题, 解题展示 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1482]排序映射

已知数集 $\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}$($1\leqslant a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$,$n\geqslant 2$)具有性质 $P$:对任意的 $i,j$($1\leqslant i\leqslant j\leqslant n$),$a_{i}a_j$ 与 $\dfrac{a_{j}}{a_{i}}$ 两数中至少有一个属于 $A$.

1、分别判断数集 $\{1,3,4\}$ 与 $\{1,2,3,6\}$ 是否具有性质 $P$,并说明理由.

2、证明:$a_{1}=1$,且 $\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}$.

3、证明:当 $n=5$ 时,$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ 成等比数列.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论