每日一题[3182]类等比数列

数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足:$a_0=0$,$a_n=\dfrac{1}{2}\left(3 a_{n-1}+\sqrt{5 a_{n-1}^2+4}\right)$($n \geqslant 1$).证明:该数列的各项皆为自然数,且对于数列中的任意连续的三项 $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$,其两两的乘积加 $1$ 的值皆是正整数的平方.

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每日一题[3181]几何计数

$P$ 是单位正方体内部或表面上的点,满足条件:

① 正方体有一条棱的两个端点到 $P$ 的距离分别是 $\dfrac{8}{15}$ 与 $\dfrac{17}{15}$;

② 正方体中至少有两个顶点到 $P$ 的距离相等.

试求同时满足上述条件的点 $P$ 的个数.

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每日一题[3180]和积凑整

对于正整数 $n$,将其各位数字之和记为 $s(n)$,各位数字之积记为 $p(n)$,若成立 $s(n)+p(n)=n$,就称 $n$ 为巧合数,则所有巧合数的和为_______.

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每日一题[3179]凸包讨论

边长为 $ 1 $ 的正四面体在平面上的投影面积的最大值为_______.

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每日一题[3178]二次方式函数的“判别式”

函数 $f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}$ 的单调递增区间是_______.

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每日一题[3177]直线系

一直线被两直线 $4x+y+6=0$ 与 $3x-5y-6=0$ 截得的线段中点恰好是坐标原点 $O$,求这条直线的方程是_______.

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每日一题[3176]分类计数

虎年 $2022$ 具有这样的性质:它是 $6$ 的倍数并且其各位数字之和为 $6$,这 种正整数被称为“白虎数”,那么,在前 $ 2022$ 个正整数中,“白虎数”的个数 $n=$ _______.

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每日一题[3175]进阶放缩

已知 $a=\dfrac{9-\mathrm{e}}{3+\mathrm{e}}$,$ b=\ln 3$,$ c=2 \ln 2-\dfrac{2}{7}$,则(       )

A.$c>b>a$

B.$a>b>c$

C.$c>a>b$

D.$b>a>c$

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每日一题[3174]寻找奇环

把集合 $A=\{1011,1012, \cdots, 2022\}$ 任意划分为两个不交的非空子集.证明:至少有一个子集中包含两个数,这两个数之和为完全平方数.

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每日一题[3173]举步维艰

已知数列 $\{a_n\}$ 共有 $100$ 项,满足 $a_1=0$,$a_{100} = 475$,且 $\left|a_{k+1}-a_k\right|=5$($k=1,2,3,\cdots,99$),则符合条件的不同数列有_______个.

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