每日一题[1148]大胆假设 小心求证

设 $x,y,z$ 为非负实数,满足 $x+y+z=1$,则 $\dfrac1{2+x^2}+\dfrac1{2+y^2}+\dfrac1{2+z^2}$ 的取值范围是______.


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正确答案是$\left[\dfrac 43,\dfrac{27}{19}\right]$.

分析与解    设 $f(x)=\dfrac{1}{2+x^2}$,则\[\begin{array} {c|ccc}\hline
x&0&\frac 13&1\\ \hline f(x)&\frac 12&\frac 9{19}&\frac 13\\ \hline
\end{array}\]考虑利用切割线放缩得到辅助不等式:

引理    当 $x\in [0,1]$ 时,有\[-\dfrac 16x+\dfrac 12\leqslant \dfrac{1}{2+x^2}\leqslant -\dfrac{54}{361}\left(x-\dfrac 13\right)+\dfrac 9{19},\]且左边不等式等号当 $x=0,1$ 时取得;右边不等式等号当 $x=\dfrac 13$ 时取得.

证明    事实上,左边不等式即\[x(1-x)(2-x)\geqslant 0,\]右边不等式即\[(17-6x)(3x-1)^2\geqslant 0,\]因此命题得证.

因此可得\[-\dfrac 16\sum x+\dfrac 32\leqslant \sum f(x)\leqslant -\dfrac {54}{361}\left(\sum x-1\right)+\dfrac{27}{19},\]即\[\dfrac 43\leqslant \dfrac1{2+x^2}+\dfrac1{2+y^2}+\dfrac1{2+z^2} \leqslant \dfrac{27}{19},\]左侧等号当 $(x,y,z)=(1,0,0)$ 时可以取得;右侧等号当 $(x,y,z)=\left(\dfrac 13,\dfrac 13,\dfrac 13\right)$ 时可以取得.因此所求的取值范围是 $\left[\dfrac 43,\dfrac{27}{19}\right]$.

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