每日一题[1149]遍地开花

已知实数 $a,b$ 满足 $a^2-ab-2b^2=1$,则 $a^2+b^2$ 的取值范围为_______.


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正确答案是$\left[\dfrac{2\sqrt{10}+2}{9},+\infty\right)$.

分析与解    法一    设 $a=r\cos\theta$,$b=r\sin\theta$,则条件即\[r^2\left(\cos^2\theta-\cos\theta\sin\theta-2\sin^2\theta\right)=1,\]于是\[\begin{split} a^2+b^2&=r^2\\&=\dfrac{1}{\cos^2\theta-\cos\theta\sin\theta-2\sin^2\theta}\\&=\dfrac{2}{3\cos 2\theta-\sin 2\theta-1}\\&=\dfrac{2}{-\sqrt{10}\cdot \sin\left(2\theta-\arctan 3\right)-1},\end{split}\]于是 $a^2+b^2$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{2(\sqrt{10}+1)}{9},+\infty\right)$.

法二    根据已知条件有\[(a-2b)(a+b)=1,\]设 $x=a-2b$,$y=a+b$,则\[xy=1,a=\dfrac{x+2y}3,b=\dfrac{y-x}3,\]有\[a^2+b^2=\left(\dfrac{x+2y}3\right)^2+\left(\dfrac{y-x}3\right)^2=\dfrac {2x^2+5y^2+2}9\geqslant\dfrac{2\sqrt{10}+2}{9},\]当 $2x^2=5y^2$ 时取等号.因此所求代数式的取值范围是 $\left[\dfrac{2\sqrt{10}+2}{9},+\infty\right)$.

法三    设题中代数式为 $t$,则\[t=\dfrac{a^2+b^2}{a^2-ab-2b^2},\]即\[(t-1)a^2-tab+(-2t-1)b^2=0,\]因此其判别式\[\Delta=t^2-4(t-1)(-2t-1)=9t^2-4t-4\geqslant 0,\]解得\[t\geqslant \dfrac{2\sqrt{10}+2}9,\]因此所求代数式的取值范围是 $\left[\dfrac{2\sqrt{10}+2}{9},+\infty\right)$.

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