2026年9月浙江杭州二中开学考数学试题#18
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），点 $F(1,0)$ 为椭圆 $C$ 的右焦点．过点 $F$ 作动直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A,B$ 两点，当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，$|AB|=3$．
1、求曲线 $C$ 的方程；
2、若 $x$ 轴上存在定点 $T(t,0)$ 满足 $\angle ATF=\angle BTF$．
① 求实数 $t$ 的值；
② 若 $\dfrac{|AT|}{|BT|}=\dfrac 3 5$，求 $\triangle TAB$ 的面积．
解析
1、根据题意，有\[\begin{cases} \sqrt{a^2-b^2}=1,\\ \frac{2b^2}a=3,\end{cases}\iff \begin{cases} a=2,\\ b=\sqrt 3,\end{cases}\]于是曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}4+\frac{y^2}3=1$．
2、① 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，记 $B'(x_2,-y_2)$，则定点 $T$ 为动直线 $AB'$ 与 $x$ 轴的交点，于是直线 $AB,AB'$ 的横截距分别为\[s=\frac{x_2y_1-y_2x_1}{y_1-y_2}=1,\quad t=\frac{x_2y_1+y_2x_1}{y_1+y_2},\]因此\[st=\frac{x_2y_1^2-y_2^2x_1^2}{y_1^2-y_2^2}=a^2,\]从而 $t=4$．
② 根据角平分线定理，有\[\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{|AT|}{|BT|}=\frac 35,\]而设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，不妨设椭圆的焦半径 $|AF|,|BF|$ 为\[|AF|=\dfrac{3}{2-\cos\theta},\quad |BF|=\frac{3}{2+\cos\theta},\]解得 $\theta=\frac{\pi}3$，进而\[|AB|=|AF|+|BF|=2+\frac 65=\frac{16}5,\]从而 $\triangle TAB$ 的面积为\[[\triangle TAB]=\frac 12\cdot |FT|\cdot |AB|\cdot \sin\theta=\frac 12\cdot 3\cdot \frac{16}5\cdot \frac{\sqrt 3}2=\frac{12\sqrt 3}{5}.\]