每日一题[1154]深度挖掘

已知 $n$ 是一个不小于 $2$ 的正整数,$c$ 是实数,且对任意 $x_i\geqslant 0$($i=1,2,\cdots,n$)均有\[\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\left(x_i^2+x_j^2\right)\leqslant c\cdot \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^4.\]
(1)求实数 $c$ 的最小值;
(2)当 $c$ 取最小值时,指出等号成立的充要条件.


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分析与解(1)根据题意,不妨设\[\sum_{i=1}^nx_i=1,\]则\[\begin{split}M=&\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\left(x_i^2+x_j^2\right)\\=&\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n,i\ne j}x_i^3x_j\\=&\sum_{i=1}^n\left(x_i^3-x_i^4\right).\end{split}\]记\[f(x)=x^3-x^4,\]则 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\dfrac 12\right]$ 上下凸,如图.

不妨设 $x_1\leqslant x_2\leqslant \cdots \leqslant x_n$.

情形一    若 $x_n>\dfrac 12$,则 $x_1,x_2,\cdots,x_{n-1} \in \left[0,1-x_n\right]$,而当 $x\in [0,1-x_n]$ 时,有\[f(x)\leqslant \dfrac{(1-x_n)^3-(1-x_n)^4}{1-x_n}\cdot x,\]于是\[\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\leqslant (1-x_n)^3-(1-x_n)^4,\]进而\[\begin{split}\sum_{i=1}^nf(x_i)\leqslant &x_n^3-x_n^4+(1-x_n)^3-(1-x_n)^4\\=&\dfrac {1-(2x_n-1)^4}8\\<&\dfrac 18.\end{split}\]
情形二    若 $x_n\leqslant \dfrac 12$,则 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in\left[0,\dfrac 12\right]$,而当 $x\in\left[0,\dfrac 12\right]$ 时,有\[f(x)\leqslant \dfrac 18x,\]因此\[\sum_{i=1}^n\left(x_i^3-x_i^4\right)\leqslant \dfrac 18,\]等号当且仅当 $x_i\in\left\{0,\dfrac 12\right\}$,且 $x_1+x_2+\cdots +x_n=1$ 时取得.

综上所述,实数 $c$ 的最小值即代数式 $M$ 的最大值,为 $\dfrac 18$.

(2)根据第 $(1)$ 小题的结果,等号成立的充要条件是 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为 $2$ 个 $\dfrac S2$ 和 $n-2$ 个 $0$ 构成的排列,其中 $S=x_1+x_2+\cdots+x_n$.

注    $f(x)=x^3-x^4$在$\left[0,\dfrac 12\right]$下凸可以通过$\dfrac{f(x)}{x}=x^2-x^3$在$\left[0,\dfrac 12\right]$上单调递增得到.

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