每日一题[1152]步步为营

已知函数 $f(x)=\ln x+({\rm e}-a)x-2b$,若不等式 $f(x)\leqslant 0$ 对 $x\in (0,+\infty)$ 恒成立,则 $\dfrac ba$ 的最小值等于________.


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正确答案是$-\dfrac{1}{2{\rm e}}$.

分析与解    先进行端点分析,有\[\begin{split} \lim_{x\to 0^+}f(x)&=-\infty,\\\lim_{x\to +\infty}f(x)&=\begin{cases} +\infty,{\rm e}-a\geqslant 0,\\ -\infty,{\rm e}-a<0,\end{cases}\end{split}\]因此 $a>{\rm e}$.此时函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac 1x+{\rm e}-a,\]因此当 $x=\dfrac{1}{a-{\rm e}}$ 时函数 $f(x)$ 取得极大值,亦为最大值\[f\left(\dfrac 1{a-{\rm e}}\right)=\ln\dfrac{1}{a-{\rm e}}-2b-1.\]根据题意,有\[\ln\dfrac{1}{a-{\rm e}}-2b-1\leqslant 0,\]于是\[\dfrac{b}{a}\geqslant \dfrac{\ln\dfrac{1}{a-{\rm e}}-1}{2a},\]记右侧函数为 $\varphi(a)$,则其导函数\[\varphi'(a)=\dfrac{(a-{\rm e})\ln (a-{\rm e})-{\rm e}}{2(a-{\rm e})a^2}.\]当 $a\in ({\rm e},{\rm e}+1)$ 时,有\[(a-{\rm e})\ln (a-{\rm e})-{\rm e}<0-{\rm e}<0.\]当 $a\in ({\rm e}+1,+\infty)$ 时,$(a-{\rm e})\ln (a-{\rm e})$ 单调递增,因此关于 $a$ 的方程\[(a-{\rm e})\ln (a-{\rm e})-{\rm e}=0\]有唯一零点 $a=2{\rm e}$.因此 $\varphi(a)$ 在 $({\rm e},2{\rm e})$ 上单调递减,在 $(2{\rm e},+\infty)$ 上单调递增,在 $a=2{\rm e}$ 时取得极小值,亦为最小值\[\varphi(2{\rm e})=-\dfrac{1}{2{\rm e}}.\]综上所述,$\dfrac ba$ 的最小值为 $-\dfrac{1}{2{\rm e}}$,当 $a=2{\rm e}$ 时取得.

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每日一题[1152]步步为营》有 4 条评论

  1. zzf770916说:

    想通了,只要b/a能取到这个最小值即可。

  2. zzf770916说:

    如果从左边函数图像始终在右边函数图像上方来理解,我用几何画板画图好像也看不出。你看看,可能我想错了!

    • ccmxigua说:

      呃 我感觉没啥问题呀。毕竟假如固定a的话 b/a最小值就是看右边函数的值。所以a动起来的话。就是看右边最小值。你看看我说的对嘛……

  3. zzf770916说:

    兰老师,此题解答最后的部分好像有点问题:b/a是关于a的函数,-(ln(a-e)+1)/2a也是关于a的函数,都在动。

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