已知 $\triangle A B C$ 外接圆 $O$ 的半径为 $1$，$ \angle A$ 的角平分线交圆 $O$ 于另一点 $D$，$ A D=\sqrt{3}$，则 $\angle C A D$ 的取值范围是_____，$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ 的最小值是_____．
每日一题[4029]抽卡常识
一个游戏 $\rm UP$ 池中有 $n$ 张不同的角色卡，每次抽奖独立地从中抽取 $1$ 张（有放回的抽取），第一次获取角色卡后得到该角色，之后再获得该角色将得到星辉（可用于兑换抽卡资源，但不影响抽卡次数）．
1、求经过 $k$ 抽后，获取的不同角色个数的数学期望；
2、求获取卡池中所有角色需要抽数的数学期望．
每日一题[4028]裂项与构造
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的前 $k$ 项和为 $S_k$ 且 $S_n=1$，求证：$\displaystyle 1\leqslant \sum\limits_{k=1}^n\dfrac{a_k}{\sqrt{S_k}}<2$．
每日一题[4027]论证与构造
已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $S(0,\sqrt 6)$，且过点 $P(1,\sqrt 3)$．
1、求椭圆 $\Gamma$ 的方程；
2、若斜率为 $\sqrt 3$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点（直线 $PA$ 斜率为正），直线 $PA, PB$（若 $P,B$ 重合，直线 $PB$ 即为椭圆 $\Gamma$ 在 $P$ 点处的切线）分别与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点，$H$ 为 $PN$ 中点．
① 求 $\sin\angle PMH$ 的最大值；
② 当 $\sin\angle PMH$ 最大时，将坐标平面沿 $x$ 轴折成二面角 $P-MN-A$，在二面角 $P-MN-A$ 大小变化过程中，求三棱锥 $P-MNA$ 外接球表面积取得最小值时三棱锥 $P-MNA$ 的内切球的半径．
每日一题[4026]可行域
已知实数 $x,y$ 满足：$2\leqslant x+y\leqslant 3$，$1\leqslant x+y^2\leqslant 4$，则 ( )
A．$x$ 的最小值为 $0$
B．$y$ 的的最大值为 $2$
C．$(x+y)(x^2+y^2)$ 的最小值为 $2$
D．$(x+y)(x^2+y^2)$ 的最大值为 $12$
每日一题[4025]迭代向前
已知增函数 $f(x)$ 满足当 $x\in \mathbb N^{\ast}$ 时，$f(x)\in\mathbb N^{\ast}$，且 $f(f(n))=2n+1$，则（ ）
A．$f(1)=2$
B．$f(4)=6$
C．$f(2025)=2536$
D．$f(2^n)=3\cdot 2^{n-1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）
每日一题[4024]椭圆的光学性质
己知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 $（$a>b>0$）的左，右焦点分别为 $F_1, F_2$，点 $A$ 是 $C$ 上的一点（$A$ 在第一象限）且 $\angle F_1 A F_2=90^{\circ}$，$\angle F_1 A F_2$ 的角平分线 $l$ 与 $C$ 的另一个交点为点 $B$，$l$ 与 $y$ 轴交于点 $D$，若 $|A B|=2 |B D|$，则 $C$ 的离心率为_____．
每日一题[4023]函数与方程
在 $\triangle A B C$ 中，$\sin ^2 A+\sin ^2 B=\sin (A+B)$ 是 $C$ 为直角的（ ）
A．充分但非必要条件
B．必要但非充分条件
C．充要条件
D．既非充分条件也非必要条件
每日一题[4022]代数变形
已知实数 $a, b$ 满足 $3^a+5^b=9^a+25^b$，则 $27^a+125^b$ 的最大值为_____．
每日一题[4021]函数最值与消元
2026年1月湖南雅礼中学高三期末数学考试 #11
已知 $g(x)=2+m\cos x+n\sin x+M\cos 2 x+N\sin 2 x$，其中 $m,n,M,N$ 为常数， 且 $g(x)\geqslant 0$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 恒成立，则（ ）
A．$m^2+n^2\leqslant 8$
B．$M^2+N^2>4$
C．$|m|+|n|+|M|+|N|\leqslant 2\sqrt 2+4$
D．$g(x)\leqslant 6$