Math173

2025 年北京市东城区高三期末数学试卷 #10

已知 $f(x)=\sin\pi x$，$g(x)=-x^2+2 a x-a^2+1$．用 $\displaystyle\max\{a,b\}$ 表示 $a,b$ 中的最大值，设 $M(x)=\displaystyle\max\{f(x),g(x)\}$．若函数 $M(x)$ 在区间 $(0,2)$ 上有且仅有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（       ）

A．$(1,3)$

B．$\left(\dfrac 3 2,\dfrac 5 2\right)$

C．$(2,3)$

D．$\left(\dfrac 5 2,3\right)$

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2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #21

已知 $\left\{a_n\right\}$ 为各项均为整数的无穷递增数列，且 $a_1=1$．对于 $\left\{a_n\right\}$ 中的任意一项 $a_k$（$k\geqslant 3$）， 在 $\left\{a_n\right\}$ 中都存在两项 $a_i,a_j$（$i<j$），使得 $a_k=2 a_j-a_i$ 或 $a_k=\dfrac{a_j^2}{a_i}$．

1、若 $a_2=3$，$a_5=25$，写出 $a_4$ 的所有可能值；

2、若 $a_m=2025$．

① 当 $a_2=3$ 时，求 $m$ 的最大值；

② 当 $a_2=2$ 时，求 $m$ 的最小值．

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2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #20

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln (a x)}{x-1}$．

1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的定义域；

2、已知 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,-1]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

3、当 $a=\dfrac 2{\mathrm e}$ 时，证明：若 $x_1\in(0,1)$，$x_2\in(1,+\infty)$，则 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>\dfrac 3 2$． （参考数据：$\mathrm e^2\approx 7.39$，$\mathrm e^3\approx 20.09$，$\mathrm e^4\approx 54.60$）

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2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #19

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左顶点为 $A(-2,0)$，离心率 $e=\dfrac{\sqrt 3}2$．

1、求椭圆 $C$ 的标准方程；

2、设点 $P$ 为 $C$ 上异于顶点的一点，点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $Q$，过 $A$ 作 $OP$ 的平行线 $l$，$l$ 与 $C$ 的另一个交点为 $M$．当 $M$ 与 $Q$ 不重合时，求证：$MQ\parallel AP$．

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2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #15

已知曲线 $C: x-2\sqrt x+y^2=0$．下列四个结论中正确结论的序号为_____．

① 曲线 $C$ 关于直线 $x=1$ 对称；

② 曲线 $C$ 上恰好有 $4$ 个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；

③ 曲线 $C$ 上存在一点 $P$，使得 $P$ 到点 $(1,0)$ 的距离小于 $1$；

④ 曲线 $C$ 所围成区域的面积大于 $4$．

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2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #14

已知函数 $f(x)=\begin{cases}x^2-x,&x\geqslant a,\\a x-1,&x<a\end{cases}$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是_____．

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2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #10

$2023$ 年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从 $2$ 月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多 $200$ 万元，乙公司每个月盈利比前一个月增加 $10\%$．记甲、乙两公司在 $2023$ 年第 $n$ 个月的盈利分别为 $Q_1(n),Q_2(n)$（单位：万元）．已知 $Q_1(1)=1200$，$Q_2(1)=1100$，则 $Q_1(n)-Q_2(n)$ 最大时，$n$ 的值为[[nn]] （参考数据：$\lg 1.1\approx 0.0414$，$\lg 2\approx 0.3010$）

A．$7$

B．$8$

C．$9$

D．$10$

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用 $\operatorname{card}(X)$ 表示有限集 $X$ 中元素的个数．若 $\operatorname{card}(A\cup B)=30$，$\operatorname{card}(A\cup C)=40$，$\operatorname{card}(B\cup C)=50$，则 $\operatorname{card}(A\cup B\cup C)$ 的取值范围是_____．

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2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #19

已知关于 $x$ 的方程 $x^2-ax+9a=0$ 的解均为正整数，则实数 $a$ 的所有可能取值个数为_____．

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2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #15

在 $3\times 3$ 的数表中填入 $9$ 个自然数，使得每行、每列的三个数之和均为 $3$，共有_____种不同的填法．

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