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每日一题[3815]暗恋者
n(n∈N∗,n⩾)个人相互传球,传球规则如下:若球由甲手中传出,则甲传给乙;否则,传球者等可能地将球传给另外的 n-1 个人中的任何一个.第一次传球由甲手中传出,第 k(k\in\mathbb N^{\ast})次传球后,球在甲手中的概率记为 A_n(k),球在乙手中的概率记为 B_n(k).
1、求 A_5(2),B_5(2),A_5(3),B_5(3);
2、求 A_n(k); 比较 B_n(k+1) 与 \dfrac{n-2}{n-1}A_n(k) 的大小,并说明理由.
每日一题[3814]放缩处理指对
已知函数 f(x)=a\ln (x+1)-x \mathrm e^{x+1}.
1、当 a<0 时,求 f(x) 的单调区间;
2、若函数 f(x) 存在正零点 x_0,
① 求 a 的取值范围;
② 记 x_1 为 f(x) 的极值点,证明:x_0<3 x_1.
每日一题[3813]换元与估计
设函数 f(x)=\dfrac {\mathrm e}{2 x}+\ln x(x>0).
1、求 f(x) 的单调区间;
2、已知 a,b\in \mathbb R,曲线 y=f(x) 上不同的三点 \left(x_1,f\left(x_1\right)\right),\left(x_2,f\left(x_2\right)\right),\left(x_3,f\left(x_3\right)\right) 处的切线都经过点 (a,b).证明:
① 若 a>\mathrm e,则 0<b-f(a)<\dfrac 1 2\left(\dfrac a {\mathrm e}-1\right);
② 若 0<a<\mathrm e,x_1<x_2<x_3,则 \dfrac 2 e+\dfrac{\mathrm e-a}{6 \mathrm e^2}<\dfrac 1{x_1}+\dfrac 1{x_3}<\dfrac 2 a-\dfrac{\mathrm e-a}{6 \mathrm e^2}.
每日一题[3812]分析通项
设函数 f(x)=\dfrac x{1+x}-\ln (1+x),g(x)=\ln (1+x)-b x.
1、求函数 f(x) 在 (1,f(1)) 处的切线方程;
2、是否存在实数 b,使得关于 x 的不等式 g(x)<0 在 (0,+\infty) 上恒成立?若存在,求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由;
3、证明:不等式 \dfrac 1 n+\ln\dfrac n {\mathrm e}<\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac k{k^2+1}\leqslant\dfrac 1 2+\ln n.
每日一题[3811]级数大杂烩
已知数列 \left\{a_n\right\},a_1=9,a_{n+1}=3 a_n+6\cdot 3^n,S_n 是 \left\{a_n\right\} 的前 n 项和.
1、证明:数列 \left\{\dfrac{a_n}{3^n}\right\} 为等差数列;
2、求 S_n;
3、若 b_n=\begin{cases}\dfrac{2 n}{S_n-n},&n~\text{为奇数,}\\(-1)^{\frac n 2+1}\cdot\dfrac{2\cdot 3^{n+1}}{S_n},&n~\text{为偶数},\end{cases} 记数列 \left\{b_n\right\} 的前 n 项和为 T_n,证明:T_{4 n}<1.参考数据:\ln 2\approx 0.69.
每日一题[3810]发散级数
若数列 \left\{a_n\right\} 满足 a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+d}(n\in\mathbb N^{\ast}).其中 d\neq 0,a_n>0,则称数列 \left\{a_n\right\} 为 M 数列.
1、已知数列 \left\{a_n\right\} 为 M 数列,当 d=1,a_1=1 时.
① 求证:数列 \left\{a_n^2\right\} 是等差数列,并写出数列 \left\{a_n\right\}\left(n\in\mathbb N^{\ast}\right) 的通项公式;
② T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2 n}\left(\left(a_k^4+a_k^2\right)(-1)^k\right)(n\in\mathbb N^{\ast}).求 \displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1{T_k}(n\in\mathbb N^{\ast}).
3、若 \left\{a_n\right\} 是 M 数列(n\in\mathbb N^{\ast}),且 d>0,证明:存在正整数 n.使得 \displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac 1{a_i}>2024.