已知 $a,b,c$ 是正数，且 $abc\leqslant 1$，求证：$\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\geqslant 2(a+b+c)$．
已知双曲线 $C:x^2-\dfrac{y^2}3=1$，动直线 $y=-2x+m$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A,B$ 两点（$A$ 在 $B$ 的上方），且与 $y$ 轴交于点 $M$，则 $\dfrac{|MB|}{|MA|}$ 的取值范围为_______．
设函数 $f(x)=x^3+bx+c$，$\eta,\xi$ 是方程 $f(x)=0$ 的根，且 $f'(\xi)=0$，当 $0<\xi-\eta<1$ 时，关于函数 $g(x)=\dfrac 13x^3-\dfrac 32x^2+(b+2)x+(c-b+\eta)\ln x+d$ 在区间 $(\eta+1,\xi+1)$ 内的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A．至少有一个零点
B．至多有一个零点
C．可能存在 $2$ 个零点
D．可能存在 $3$ 个零点
已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}$．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间；
2、若 ${\rm e}^x-2x\ln x-kx-1\geqslant 0$ 对任意实数 $x>0$ 都成立，记 $k$ 的最大值为 $\lambda$，求证：$\lambda >1.3$．
已知函数 $f(x)={\rm e}^{mx-1}-\dfrac{\ln x}x$，其中 $m$ 是实数．
1、若 $m=1$，求函数 $f(x)$ 的单调区间；
2、若 $f(x)$ 的最小值为 $m$，求 $m$ 的最小值．
方程 $\left(x^{2018}+1\right)\left(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2016}\right)=2018x^{2017}$ 的实数解个数为_______．
数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，且 $a_{n+1}=a_n+\dfrac2{a_n}-1$，$n\in \mathbb N^\ast$ 且数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和是 $S_n$．
1、若 $\{a_n\}$ 是递增数列，求 $a_1$ 的取值范围；
2、若 $a_1>2$，且对任意 $n\in\mathbb N^\ast$，都有 $S_n\geqslant na_1-\dfrac13(n-1)$，证明：$S_n<2n+1$．
已知函数 $f(x)=x\mathrm{e}^{2x}-{\ln}x-ax$．
1、当 $a=0$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac12,1\right]$ 上的最小值；
2、若 $\forall x>0$，不等式 $f(x)\geqslant 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
3、若 $\forall x>0$，不等式 $f\left(\dfrac1x\right)-1\geqslant \dfrac1x\mathrm{e}^{\frac2x}+\dfrac{\frac1{\mathrm{e}-1}+\frac1x}{\mathrm{e}^{\frac x{\mathrm{e}}}}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
如题，很多读者写邮件给我，但工作太忙无法一一回复，所以放在这里方便大家．
已知实数 $a,b$ 满足 $\ln (b+1)+a-3b=0$，实数 $c,d$ 满足 $2d-c-\sqrt 5=0$，则 $(a-c)^2+(b-d)^2$ 的最小值为_______．
