每日一题[1363]暴力消元

已知 $a,b>0$,若存在实数 $x,y$ 满足 $0\leqslant x\leqslant a$,$0\leqslant y\leqslant b$,且\[(x-a)^2+(y-b)^2=x^2+b^2=a^2+y^2,\]则 $\dfrac ba$ 的取值范围是_______.

答案    $\left[\dfrac{\sqrt 3}2,\dfrac{2\sqrt 3}3\right]$.

解析    由于\[(x-a)^2+(y-b)^2=(x^2+b^2)+(y^2+a^2)-2(ax+by),\]于是设 $x^2+b^2=a^2+y^2=t$($t\leqslant a^2+b^2$),则\[ax+by=\dfrac 12t.\]将 $x=\sqrt{t-b^2}$,$y=\sqrt{t-a^2}$ 代入,有\[a\sqrt{t-b^2}+b\sqrt{t-a^2}=\dfrac 12t,\]解得\[t=4\left(a^2+b^2\pm \sqrt 3ab\right),\]舍去“$+$”,可得\[t=4\left(a^2+b^2-\sqrt 3ab\right),\]进而可得\[(x,y)=\left(2a-\sqrt 3b,-\sqrt 3a+2b\right),\]由 $a,b>0$,$0\leqslant x\leqslant a$,$0\leqslant y\leqslant b$,可得\[\dfrac{\sqrt 3}2\leqslant \dfrac ba\leqslant \dfrac{2}{\sqrt 3},\]而 $(a,b,x,y)=\left(\sqrt 3,2,1,0\right),\left(2,\sqrt 3,0,1\right)$ 时满足题意,因此所求取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 3}2,\dfrac{2\sqrt 3}3\right]$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[1363]暴力消元》有 5 条评论

  1. arock arockmath说:

    设$C(a,b),D(a,0),E(0,b)$ 其实$A,B$就是分别在矩形$ODCE$的边$DC,CE$上然后知道$AO=\dfrac{a}{\cos\alpha},BO=\dfrac{b}{\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{3}}$ 令$AO=BO$可以求到$\dfrac{b}{a}$的范围。

  2. arock arockmath说:

    可以数形结合,看成$O(0,0),B(x,b),A(a,y)$三个点组成一个正三角形。然后令$\angle AOx=\alpha$,得到$AO,BO$长度的表示。然后令他们相等也可以求到比例范围

发表评论