已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=6$，且当 $n\geqslant 3$ 时，有\[a_n=\begin{cases} a_{n-1}+\sin a_{n-1},&a_{n-1}\geqslant a_{n-2},\\ a_{n-1}+\cos a_{n-1},&a_{n-1}<a_{n-2},\end{cases}\]则下列结论正确的有（ ）
A．数列 $\{a_n\}$ 有上确界为 $2\pi$
B．数列 $\{a_n\}$ 有上确界为 $3\pi$
C．数列 $\{a_n\}$ 有上确界为 $4\pi$
D．数列 $\{a_n\}$ 没有上确界
从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色．将一个正方体的六面体染色，每面洽染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同颜色，则不同的染色方案有_______种．（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．）
答案 $230$．
解析 按相对的面颜色相同的组数分类讨论．
情形一 $0$ 组．此时六个面是不同的颜色，将下面固定为某种颜色，则其对面有 $5$ 种染色方案，其余 $4$ 面有 $(4-1)!=6$ 种染色方案（注意圆排列），共 $30$ 种染色方案
情形二 $1$ 组．此时设上下两面为同色，有 $6$ 种染色方案，其余 $4$ 面有 ${\rm C}_5^4(4-1)!=30$ 种染色方案．考虑到上下可以对调，因此其余四面互逆的染色方案相同，因此共有 $90$ 种染色方案．
情形三 $2$ 组．让这 $2$ 组对面构成除上下面的 $4$ 个面，有 ${\rm C}_6^2=15$ 种染色方案．此时上下底面有 ${\rm C}_4^2=6$ 种染色方案，因此共有 $90$ 染色方案．
情形四 $3$ 组．此时有 ${\rm C}_6^3=20$ 种染色方案．
因此所有的染色方案数为\[30+90+90+20=230.\]
坐标平面上的整点（横、纵坐标均为整数的点）到直线 $y=\dfrac 53x+\dfrac 45$ 的距离的最小值为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt{34}}{170}$
B．$\dfrac{\sqrt{34}}{85}$
C．$\dfrac1{20}$
D．$\dfrac1{30}$
如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 为边 $AD$ 上的动点，将 $\triangle ABE$ 沿直线 $BE$ 翻转成 $\triangle A_1BE$，使平面 $A_1BE\perp ABCD$，则点 $A_1$ 的轨迹是( )
A．线段
B．圆弧
C．抛物线的一部分
D．以上答案都不对
使得函数 $y=\sqrt{(x-1)^2+(x-4)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(x-2)^2}$ 取最小值的 $x$ 的值是_______．
椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的内接八边形的最大面积为_______．
已知函数 $f(x)=2ax^2+3b$（$a,b\in\mathbb R$）满足对任意 $x\in [-1,1]$，都有 $|f(x)|\leqslant 1$ 成立，则 $ab$ 的最大值是______．
已知 $x,y\geqslant 0$，且 $x+y=4$，则 $m=(x^2+1)(y^2+1)$ 的最小值为_______．
已知 $a,b,c$ 为整数，$24\mid a^3+b^3+c^3$，求证：$120\mid a^5+b^5+c^5+4(a+b+c)$．
已知对任意的 $x\in\mathbb R$，$3a(\sin x+\cos x)+2b\sin 2x\leqslant 3$（$a,b\in\mathbb R$）恒成立，则当 $a+b$ 取得最小值时，$a$ 的值是_______．
