每日一题[1370]消元大法

若正实数 $x,y$ 满足 $x^3+y^3=(4x-5y)y$,则 $y$ 的最大值为_______.

答案    $\dfrac 13$.

解析    根据题意,有\[\begin{split} y^3+5y^2&=x(4y-x^2)\\ &=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{2x^2(4y-x^2)(4y-x^2)}\\ &\leqslant \dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{8y}3\right)^3},\end{split}\]于是\[\left(y^3+5y^2\right)^2\leqslant \dfrac{256y^3}{27},\]即\[y^3+10y^2+25y-\dfrac{256}{27}\leqslant 0,\]解得\[0<y\leqslant \dfrac 13.\]

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