每日一题[1364]抓不变量

在 $\triangle ABC$ 中,$AB=AC$,$D$ 为 $AC$ 的中点且 $BD=3$,则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为_______.

答案    $6$

解法一(抓定长)      设 $AB=2x$,$BC=2y$,则根据中线长定理,有\[(2BD)^2+AC^2=2(AB^2+BC^2),\]从而\[x^2+2y^2=9,\]而 $\triangle ABC$ 的面积\[S=y\sqrt{4x^2-y^2}=3\sqrt{y^2(4-y^2)}\leqslant 6,\]等号当 $y=\sqrt 2$ 时取得,因此所求最大值为 $6$.  

解法二(抓定比)    根据题意,$\triangle ABC$ 的面积为 $\triangle ABD$ 面积的 $2$ 倍.视 $B,D$ 为定点,则根据阿波罗尼斯圆的定义,$A$ 的轨迹是以 $O$ 为圆心,$r$ 为半径的圆,如图.

其中\[\begin{cases} \dfrac{OB}{r}=\dfrac{r}{OD}=2,\\ OB-OD=BD=3,\end{cases}\]解得\[r=2,\]因此 $\triangle ABD$ 面积的最大值为 $3$,所求面积的最大值为 $6$.

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