每日一题[1371]盲区

如图,正方形 $ABC$ 的边长为 $20$ 米,圆 $O$ 的半径为 $1$ 米,圆心是正方形的中心,点 $P,Q$ 分别在线段 $AD,CB$ 上,若线段 $PQ$ 与圆 $O$ 有公共点,则称点 $Q$ 在点 $P$ 的盲区中,已知点 $P$ 以 $1.5$ 米/秒的速度从 $A$ 出发向 $D$ 移动,同时,点 $Q$ 以 $1$ 米/秒的速度从 $C$ 出发向 $B$ 移动,则在点 $P$ 从 $A$ 移动到 $D$ 的过程中,点 $Q$ 在点 $P$ 的盲区中的时长为_______.

答案    $\dfrac{8\left(\sqrt 7-1\right)}{3}$.

解析    建立平面直角坐标系 $A-BD$,$O(10,10)$,$P\left(0,\dfrac{3t}2\right)$,$Q(20,20-t)$,其中 $0\leqslant t\leqslant \dfrac{40}3$,于是直线 $PQ$ 的方程为\[y=\left(1-\dfrac t8\right)x+\dfrac {3t}2,\]也即\[(8-t)x-8y+12t=0,\]于是点 $O$ 到直线 $PQ$ 的距离\[d(t)=\dfrac{2t}{\sqrt{(8-t)^2+8^2}},\]不等式 $d(t)\leqslant 1$ 即\[3t^2+16t-128\leqslant 0,\]解得\[0\leqslant t\leqslant \dfrac{8\left(\sqrt 7-1\right)}3,\]于是所求时长为 $\dfrac{8\left(\sqrt 7-1\right)}{3}$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论