在有理数范围内分解因式：$x^{15}-1=$ _______．
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每日一题[1380]纯粹与完备
过曲线 $F:x^2+2y^2-2=0$ 和曲线 $G:2x^2-y^2-2=0$ 的交点并且被 $y$ 轴截得弦长为 $\sqrt{13}$ 的圆锥曲线的方程为_______．
每日一题[1379]积化和差
设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $\dfrac{\pi}9$，前 $8$ 项和为 $6\pi$，记 $\tan\dfrac{\pi}9=k$，则数列 $\{\tan a_n\cdot\tan a_{n+1}\}$ 的前 $7$ 项和为（ ）
A．$\dfrac{7k^2-3}{k^2-1}$
B．$\dfrac{3-7k^2}{k^2-1}$
C．$\dfrac{11-7k^2}{k^2-1}$
D．$\dfrac{7k^2-11}{k^2-1}$
每日一题[1378]虚不动点
已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=1$，$x_n+\dfrac{1}{x_{n+1}}=2\cos\dfrac{133\pi}{355}$，则使得 $x_n=1$ 的最小正整数为_______．
每日一题[1377]代数与几何
在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $AC$ 的中点，$BH\perp AC$ 于 $H$，若 $\angle ABH=\angle DBC$，求证：$\angle ABC$ 为直角．
每日一题[1376]分析通项
已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，求证：${\rm e}^{n-1}\cdot n!<n^{n+\frac 12}$．
每日一题[1375]最小角和最大角
已知 $P$ 是直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面 $A_1B_1C_1$ 上一点，$Q$ 为直线 $BC$ 上的动点，若直线 $PA$ 与 $AQ$ 所角的最小值和直线 $PQ$ 与平面 $ABC$ 所成角的最大值相等，则满足条件的点 $P$ 的轨迹是（ ）
A．直线的一部分
B．圆的一部分
C．抛物线的一部分
D．以上答案都不对
每日一题[1374]顶点弦代换
中心为原点 $O$ 的椭圆的焦点在 $x$ 轴上，$A$ 为该椭圆右顶点，$P$ 为椭圆上一点，若 $\angle OPA=90^\circ$，则该椭圆的离心率的取值范围是_______．
每日一题[1373]冻结变量
已知动点 $P$ 在直线 $l:2x+y-2=0$ 上，过点 $P$ 作互相垂直的直线 $PA,PB$ 分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于 $A,B$ 两点，$M$ 为线段 $AB$ 的中点，$O$ 为坐标原点，则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP}$ 的最小值是_______．
每日一题[1372]单位化
已知实数 $x,y$ 满足 $\begin{cases} x-5y+12\leqslant 0,\\ x+y\geqslant 0,\\ x-3\leqslant 0,\end{cases}$ 则 $z=\dfrac{2x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$
B．$\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt 2}2\right]\cup \left[\dfrac{3\sqrt 2}2,+\infty\right)$
C．$(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$
D．$[-1,1]$