每日一题[1366]合理赋值

多项式 $\left(x\sin 75^\circ+\sin 15^\circ\right)^{2018}$ 除以 $x^2+1$ 的余式为_______.

答案    $\dfrac 12x-\dfrac{\sqrt 3}2$.

解析    设题中多项式为 $f(x)$,除以 $x^2+1$ 的余式为 $ax+b$,商式为 $q(x)$,则\[f(x)=q(x)\cdot (x^2+1)+ax+b,\]令 $x={\rm i}$,则\[\begin{split} f({\rm i})&=(\cos 75^\circ+{\rm i}\sin 75^\circ)^{2018}\\ &=\left(\dfrac{5\cdot 2018}{12}\pi:1\right)\\ &=\left(840\dfrac{5\pi}{6}:1\right)\\ &=-\dfrac{\sqrt 3}2+\dfrac 12{\rm i},\end{split}\]因此所求余式为 $\dfrac 12x-\dfrac{\sqrt 3}2$.

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