每日一题[1362]相约最值

已知实数 $a,b$ 满足 $\dfrac a2+2b=\ln a+\ln b+2$,则 $a-b=$ ______.

答案    $\dfrac 32$.

解析    根据题意,有\[\dfrac a2-\ln a= \ln b+2-2b,\]设\[f(a)=\dfrac a2-\ln a,g(b)=\ln b+2-2b,\]则\[f'(a)=\dfrac 12-\dfrac 1a,g'(b)=\dfrac 1b-2,\]于是\[\dfrac a2-\ln a\geqslant 1-\ln 2\geqslant \ln b+2-2b,\]第一个等号当 $a=2$ 时取得,第二个等号当 $b=\dfrac 12$ 时取得,从而\[a-b=\dfrac 32.\]

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