每日一题[1369]恰好平行

已知点 $P,Q$ 在 $\triangle ABC$ 中,且\[\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{QA}+3\overrightarrow{QB}+5\overrightarrow{QC}=\overrightarrow 0,\]则 $\dfrac{|PQ|}{|AB|}=$ (       )

A.$\dfrac 1{30}$

B.$\dfrac 1{15}$

C.$\dfrac 1{10}$

D.$\dfrac 2{15}$

答案    A.

解析    如图,根据奔驰定理,$\triangle PAB$ 和 $\triangle QAB$ 的面积均为 $\triangle ABC$ 面积的 $\dfrac 12$,于是点 $P,Q$ 均在 $\triangle ABC$ 中与 $AB$ 平行的中位线 $MN$ 上.

考虑到\[\dfrac{S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle PCA}}=\dfrac 12,\dfrac{S_{\triangle QBC}}{S_{\triangle QCA}}=\dfrac 23,\]于是 $P$ 为 $CP_1$ 与 $MN$ 的交点,其中 $\overrightarrow{AP_1}=2\overrightarrow{P_1B}$,$Q$ 为 $CQ_1$ 与 $MN$ 的交点(图中未画出),其中 $\overrightarrow{AQ_1}=\dfrac 32\overrightarrow{Q_1B}$,因此\[\dfrac{|PQ|}{|AB|}=\dfrac{\dfrac 12|P_1Q_1|}{|AB|}=\dfrac 12\left|\dfrac 13-\dfrac 25\right|=\dfrac{1}{30}.\]

备注    事实上,考虑特殊情形,取 $A=C=(0)$,$B=(1)$,$P=(x)$,$Q=(y)$,则\[\begin{cases} x+2(x-1)+3x=0,\\ 2y+3(y-1)+5y=0,\end{cases}\]解得\[(x,y)=\left(\dfrac 13,\dfrac3{10}\right),\]于是\[\dfrac{|PQ|}{|AB|}=\dfrac{1}{30}.\]

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