设 $M(x_0,y_0)$ 为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）内部一点且 $M$ 位于第一象限，过点 $M$ 作直线交双曲线的右支于点 $A,B$，记 $O$ 为坐标原点，若 $\triangle AOB$ 的面积最小值为 $\sqrt{b^2x_0^2-a^2y_0^2}$，则 $\dfrac{3x_0}a-\dfrac{y_0}b$ 的最小值为_______．
已知函数 $f(x)=\sin x+\tan x-2x$．
1、求证：函数 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增；
2、若 $\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),f(x)>mx^2$，求实数 $m$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=x-\ln(x+2)+{\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x}$，若存在实数 $x_0$，使 $f(x_0)=3$ 成立，则实数 $a$ 的值为（ ）
A．$\ln 2$
B．$\ln 2-1$
C．$-\ln 2$
D．$-\ln 2-1$
如图，点 $P$ 为矩形 $ABCD$ 内一点，$\angle PAB=20^\circ$，$\angle PBA=10^\circ$，$\angle APD=70^\circ$，则 $\angle BPC=$ _______．
设 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上可导的奇函数，$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数．已知 $x>0$ 时 $f(x)<f'(x)$，$f(1)={\rm e}$，不等式\[0<f\left(\ln (x+\sqrt{1+x^2})\right)\leqslant x+\sqrt{1+x^2}\]的解集为 $M$，则在 $M$ 上，$g(x)=\sin 6x$ 的零点个数为_______．
我国古代太极图是一种优美的对称图．如果一个函数的图象能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们就称这样的函数为圆的“太极函数”，下列命题中正确的有（ ）
A．对于任意一个圆，其对应的太极函数不唯一
B．如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆是同心圆
C．圆 $(x-1)^2+(y-1)^2=4$ 的一个太极函数是 $f(x)=x^3-3x^2+3x$
D．圆的太极函数均是中心对称图形
已知 $a,b,c\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 且 $\cos a=a$，$\sin(\cos b)=b$，$\cos(\sin c)=c$，则 $a,b,c$ 中的最大数是_______；$a,b,c$ 中的最小数是_______．
若 $f(x)$ 为 $(a,b)$ 上的可导函数，且其导函数 $f'(x)$ 为增函数，则称 $f(x)$ 是 $(a,b)$ 上的凸函数．
1、判断函数 $y=x^3$ 与 $y=\ln \dfrac 1x$ 是否为定义域上的凸函数；
2、设 $f(x)$ 为 $(a,b)$ 上的凸函数，求证：若 $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=1$，$\lambda_i>0$（$i=1,2,\cdots,n$），则对任意 $x_i\in(a,b)$（$i=1,2,\cdots,n$）均有\[\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+\cdots+\lambda_nf(x_n)\geqslant f\left(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2\cdots\lambda_nx_n\right);\]
3、设 $a,b,c>0$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 6$，求证：\[a^n+b^n+c^n\geqslant a^{n-5}b^3c^2+b^{n-5}c^3a^2+c^{n-5}a^3b^2.\]
已知 $a$ 是实数，函数 $f(x)=x{\rm e}^x-a{\rm e}^{2x}$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）．
1、求实数 $a$ 的取值范围；
2、求证：$f(x_2)>-\dfrac 12$．
