Math173

求最小的正整数 $n$，使得当正整数 $k \geqslant n$ 时，在前 $k$ 个正整数构成的集合 $M=\{1,2,\cdots,k\}$ 中，对任何 $x\in M$，总存在另一数 $y\in M$（$y \ne x$），满足 $x+y$ 为平方数．

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在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别是角 $A,B,C$ 的对边，且满足 $(a+b)\sin\dfrac C2=12$，$(a-b)\cos\dfrac C2=5$，则 $c=$_______．

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已知数列 $\{a_n\}$ 是首项和公差相等的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_{10}=55$．数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时，$b_n=\dfrac{2^{n-1}a_{n-1}}{2S_n}$．若数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，则 $T_{100}=$（       ）

A．$\dfrac{2^{101}}{101}$

B．$\dfrac{2^{100}}{100}$

C．$\dfrac{2^{100}}{101}$

D．$\dfrac{2^{101}}{100}$

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已知 $a,b,c\geqslant 0$ 且 $a^2+b^2+c^2=1$，求证：\[1\leqslant \dfrac a{1+bc}+\dfrac b{1+ca}+\dfrac c{1+ab}\leqslant \sqrt 2.\]

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函数 $f(t,\alpha)=\dfrac{\left|\left(\cos\alpha+\sqrt 2\sin\alpha\right)t-\sqrt 2\right|}{\sqrt{t^2-2\sqrt 2t\cos\alpha+2}}$，其中 $t\in\mathbb R$，$\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 的最大值是（       ）

A．$\sqrt 2$

B．$\sqrt 3$

C．$2$

D．$\sqrt 5$

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已知 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点，过 $F_2$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支分别交于 $A,B$ 两点，$\triangle AF_1F_2$ 的内切圆半径为 $r_1$，$\triangle BF_1F_2$ 的内切圆半径为 $r_2$，若 $r_1=2r_2$，则直线 $l$ 的斜率为（       ）

A．$\pm 1$

B．$\pm \sqrt 2$

C．$\pm 2$

D．$\pm 2\sqrt 2$

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已知 $x{\rm e}^x-\ln x-ax\geqslant 1$ 对任意 $x>0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

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空间中从同一点出发两两成钝角的射线最多有多少条？证明你的结论．

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已知 $x\in\mathbb R$，解方程 $\sqrt{2x^2+x+5}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x^2-3x+13}$．

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已知 $n$ 是奇数，且 $a_k=k=a_{n-k+1}$，$1\leqslant k\leqslant \dfrac{n+1}2$，则\[\dfrac{a_1\sin\alpha+a_2\sin 2\alpha+\cdots+a_n\sin n\alpha}{a_1\cos\alpha+a_2\cos 2\alpha+\cdots+a_n\cos n\alpha}\]的值为_______．

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