每日一题[1375]最小角和最大角

已知 $P$ 是直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面 $A_1B_1C_1$ 上一点,$Q$ 为直线 $BC$ 上的动点,若直线 $PA$ 与 $AQ$ 所角的最小值和直线 $PQ$ 与平面 $ABC$ 所成角的最大值相等,则满足条件的点 $P$ 的轨迹是(       )

A.直线的一部分

B.圆的一部分

C.抛物线的一部分

D.以上答案都不对

答案    C.

解析    如图,设 $P$ 在底面 $ABC$ 上的投影为 $M$,过 $M$ 作 $BC$ 的垂线,垂足为 $H$,连接 $MA,MH,PH$.

根据题意,直线 $PA$ 与 $AQ$ 所成角的最小值为 $\angle PAM$,直线 $PQ$ 与平面 $ABC$ 所成角的最大值为 $\angle PHM$,由\[\angle PAM=\angle PHM\]可得\[MA=MH,\]于是 $M$ 的轨迹是抛物线的一部分,进而 $P$ 的轨迹是抛物线的一部分.

 

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