每日一题[1377]代数与几何

在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 为 $AC$ 的中点,$BH\perp AC$ 于 $H$,若 $\angle ABH=\angle DBC$,求证:$\angle ABC$ 为直角.

解法一    如图,不妨设 $BH=1$,$HA=a$,$HC=b$.

根据题意,有\[\tan\angle ABH=\tan \angle DBC,\]于是\[a=\dfrac{b-\dfrac{b-a}2}{1+b\cdot \dfrac{b-a}2},\]整理得\[ab=1,\]从而 $\triangle ABH$ 与 $\triangle BCH$ 相似,进而 $\angle ABC$ 为直角,与命题得证.

解法二    如图,延长 $BH$ 到 $E$,延长 $BD$ 到 $F$,且 $BH=HE$,$BD=DF$,连接 $CE,EF,CF$.

则有\[\left.\begin{split}\left.\begin{split} BD=DF,\\ AD=DC,\end{split}\right\}\implies AB\parallel CF\implies \angle ABD=\angle BFC,\\ \angle ABH=\angle DBC\implies \angle ABD=\angle EBC,\\ \left.\begin{split} BH=HE,\\ BE\perp AC,\end{split}\right\}\implies \angle EBC=\angle BEC,\end{split}\right\}\implies \angle BEC=\angle BFC,\]于是 $B,E,F,C$ 四点共圆,从而\[\angle BCF=180^\circ -\angle BEF=180^\circ -\angle BHC=90^\circ,\]因此四边形 $ABCF$ 为矩形,进而 $\angle ABC$ 为直角.

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