每日一题[1380]纯粹与完备

过曲线 $F:x^2+2y^2-2=0$ 和曲线 $G:2x^2-y^2-2=0$ 的交点并且被 $y$ 轴截得弦长为 $\sqrt{13}$ 的圆锥曲线的方程为_______.

答案    $19x^2+8y^2-26=0$.

解析    设所求圆锥曲线方程为\[H:ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0,\]即\[cxy+dx+ey=-ax^2-by^2-f,\]由于曲线 $F$ 与曲线 $G$ 的交点形如 $(m,\pm n)$ 和 $(-m,\pm n)$,于是可得\[c=d=e=0,\]进而可知所求圆锥曲线 $H$ 是唯一的.设\[H:(x^2+2y^2-2)+\lambda (2x^2-y^2-2)=0,\]令 $x=0$,有\[(2-\lambda)y^2-2-2\lambda=0,\]于是根据已知,有\[\dfrac{\sqrt{4(2-\lambda)(2+2\lambda)}}{|2-\lambda|}=\sqrt {13},\]解得\[\lambda=\dfrac 67,\]进而可得所求圆锥曲线方程为\[19x^2+8y^2-26=0.\]

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