每日一题[1372]单位化

已知实数 $x,y$ 满足 $\begin{cases} x-5y+12\leqslant 0,\\ x+y\geqslant 0,\\ x-3\leqslant 0,\end{cases}$ 则 $z=\dfrac{2x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的取值范围是(       )

A.$\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$

B.$\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt 2}2\right]\cup \left[\dfrac{3\sqrt 2}2,+\infty\right)$

C.$(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$

D.$[-1,1]$

答案    A.

解法一    如图,$P(x,y)$ 的可行域为 $\triangle ABC$ 及其内部,其中 $A(3,3)$,$B(-2,2)$.

当 $x=0$ 时,$ y\geqslant \dfrac{12}5$,于是 $z$ 的取值范围是 $\{1\}$.令\[f(k)=\dfrac{2+k}{\sqrt{1+k^2}},\]由于当 $x>0$ 时,$\dfrac yx$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$,当 $x<0$ 时,$\dfrac yx$ 的取值范围是 $(-\infty,-1]$,而\[z=\begin{cases} f\left(\dfrac yx\right),&x>0,\\ -f\left(\dfrac yx\right),&x<0,\end{cases}\]考虑到\[f'(k)=\dfrac{1-2k}{\sqrt{(1+k^2)^3}},\]于是\[\begin{array} {c|ccccc}\hline k&-\infty&\left(-\infty,\dfrac 12\right)&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,+\infty\right)&+\infty \\ \hline f(k)&-1&\nearrow&\sqrt 5&\searrow&1\\ \hline \end{array}\]结合\[f(-1)=\dfrac{\sqrt 2}2,f(1)=\dfrac{3\sqrt 2}2,\]有 $z$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$.

解法二   注意到 $z$ 的齐次性,不妨设 $(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)$,其中 $\theta\in \left[\dfrac{\pi}4,\dfrac{3\pi}4\right]$,于是\[z(\theta)=\sqrt 5\sin\left(\theta+\arctan 2\right),\]在 $\theta\in\left[\dfrac{\pi}4,\dfrac{3\pi}4\right]$ 上单调递减,于是所求取值范围为 $\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$.

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每日一题[1372]单位化》有 3 条评论

  1. arockmath arockmath说:

    $\dfrac{z}{\sqrt{5}}=\dfrac{(2,1)(x,y)}{\sqrt{5}\sqrt{x^2+y^2}}$ 看成向量$(x,y)$与$(2,1)$的夹角余弦也可以做~~

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