每日一题[1381]分解因式

在有理数范围内分解因式:$x^{15}-1=$ _______.

答案    $(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$.

解析    考虑单位根 $\left(\dfrac{2k\pi}{15}:1\right)$($k=0,1,2,\cdots,14$),因此\[x^{15}-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\cdot f(x),\]进而\[f(x)=\dfrac{(x-1)(x^{15}-1)}{(x^3-1)(x^5-1)}=x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1,\]从而\[x^{15}-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1).\]

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