每日一题[1374]顶点弦代换

中心为原点 $O$ 的椭圆的焦点在 $x$ 轴上,$A$ 为该椭圆右顶点,$P$ 为椭圆上一点,若 $\angle OPA=90^\circ$,则该椭圆的离心率的取值范围是_______.

答案    $\left(\dfrac{\sqrt 2}2,1\right)$.

解析    如图.

设椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$),又 $P(x,y)$ 亦满足\[x(x-a)+y^2=0,x\ne 0,a,\]记椭圆的离心率为 $e$,于是\[e^2-1=-\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{x^2-a^2}=\dfrac{-x(x-a)}{x^2-a^2}=-1+\dfrac{a}{x+a},\]又 $0<x<a$,于是 $e$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 2}2,1\right)$.

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