每日一题[1378]虚不动点

已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=1$,$x_n+\dfrac{1}{x_{n+1}}=2\cos\dfrac{133\pi}{355}$,则使得 $x_n=1$ 的最小正整数为_______.

答案    $355$.

解析    利用不动点求通项.题中递推公式对应的不动点方程为\[x^2-2\cos\dfrac{133\pi}{355}x+1=0,\]于是不动点为\[x=\cos\dfrac{133\pi}{355}\pm {\rm i}\sin\dfrac{133\pi}{355},\]记这两个不动点分别为 $z,\overline z$,由\[x_{n+1}=\dfrac{1}{(z+\overline z)-x_n},\]可得\[\dfrac{x_{n+1}-z}{x_{n+1}-\overline z}=\dfrac{z}{\overline z}\cdot \dfrac{x_n-z}{x_n-\overline z},\]因此\[\dfrac{x_n-z}{x_n-\overline z}=\left(\dfrac z{\overline z}\right)^n\cdot \dfrac{x_0-z}{x_0-\overline z},\]而\[x_n=1\iff \dfrac{x_n-z}{x_n-\overline z}=\dfrac{1-z}{1-\overline z},\]于是问题即求使得 $\left(\dfrac z{\overline z}\right)^n$ 为 $1$ 的最小正整数 $n$.考虑到\[\left(\dfrac z{\overline z}\right)^n=z^{2n}=\left(\dfrac{266n\pi}{355}:1\right),\]于是\[\dfrac{266n\pi}{355}=2k\pi,k\in\mathbb Z,\]即\[n=\dfrac{355k}{133},k\in\mathbb Z,\]因此符合题意的最小正整数为 $355$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论