每日一题[1376]分析通项

已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$,求证:${\rm e}^{n-1}\cdot n!<n^{n+\frac 12}$.

解析    题中不等式即\[\left(n+\dfrac 12\right)\ln n-(\ln 2+\cdots+\ln n)-n+1>0,\]记左侧代数式为 $f(n)$.当 $ n=2 $ 时,有\[f(2)=\dfrac 32\left(\ln 2-\dfrac 23\right)>0,\]命题成立.而\[\begin{split} f(n+1)-f(n)&=\left(n+\dfrac 32\right)\ln (n+1)-\left(n+\dfrac 12\right)\ln n- \ln(n+1)-1\\ &=\left(n+\dfrac 12\right)\ln\left(1+\dfrac 1n\right)-1,\end{split}\]我们熟知当 $x>1$ 时,有\[\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1},\]令 $x=1+\dfrac 1n$,则\[\ln\left(1+\dfrac 1n\right)>\dfrac{\dfrac 2n}{2+\dfrac 1n}=\dfrac {2}{2n+1},\]因此\[\left(n+\dfrac 12\right)\ln \left(1+\dfrac 1n\right)-1>0,\]从而\[f(n+1)>f(n)>0,\]因此 $f(n)$ 单调递增,从而命题成立.

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