每日一题[1373]冻结变量

已知动点 $P$ 在直线 $l:2x+y-2=0$ 上,过点 $P$ 作互相垂直的直线 $PA,PB$ 分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于 $A,B$ 两点,$M$ 为线段 $AB$ 的中点,$O$ 为坐标原点,则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP}$ 的最小值是_______.

答案    $\dfrac 25$.

解析    如图,连接 $MP$.

由于 $MP=\dfrac 12AB=OM$,于是\[\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP}=\dfrac 12|OP|^2\geqslant \dfrac12 d^2(O,l)=\dfrac 12\cdot \left(\dfrac{2}{\sqrt{2^2+1^2}}\right)^2=\dfrac 25,\]等号当 $P$ 为 $O$ 在直线 $l$ 上的投影时取得,因此所求的最小值为 $\dfrac 25$.

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