等腰三角形 $AOB$ 内接于抛物线 $y^2=2px$（$p>0$），$O$ 为抛物线顶点，$OA\perp OB$，$\triangle AOB$ 的面积是 $16$，抛物线的焦点为 $F$，$M$ 为抛物线上的动点，则 $\dfrac{|OM|}{|MF|}$ 的最大值是（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 3}3$
B．$\dfrac{\sqrt 6}3$
C．$\dfrac{2\sqrt 3}3$
D．$\dfrac{2\sqrt 6}3$
已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=3$，求证：$\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+c}+\dfrac{c}{1+a}\geqslant \dfrac 32$．
已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 满足 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=1$，$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c=1$，$\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a=2$，则 $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|$ 的取值范围是_______．
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交双曲线于 $A,B$ 两点，点 $C$ 是点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点，若 $CF\perp AB$ 且 $2|AF|=|FB|$，则双曲线的离心率为_______．
已知实数 $x,y,t$ 满足 $x^2+y^2=1$，$(x-t)^2+y^2=5$，则 $x^2+(y-2t)^2$ 的最小值是______．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=0$，$a_1=\dfrac 13$，且对任意 $n=1,2,\cdots$，均有 $3a_{n+1}-4a_n+3a_{n-1}=0$，求证：对任意正整数 $n$，均有 $|a_n|<\dfrac 12$．
已知 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 是方程组\[\begin{cases} x^2-3xy=2016,\\ y^2-3xy=2017\end{cases}\]的两组解且 $\dfrac{x_1}{y_1}\ne \dfrac{x_2}{y_2}$，则 $\dfrac{(y_1-x_1)(y_2-x_2)}{y_1y_2}$ 的值为______．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 43$，$a_{n+1}=a_n^2+\dfrac 2{a_n}-2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、求证：$1<a_{n+1}<a_n$．
2、求证：$n+\dfrac 13\leqslant a_1+a_2+\cdots+a_n\leqslant n+2$．
已知单位平面向量 $\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2$ 满足 $\overrightarrow e_1\perp \overrightarrow e_2$，若对任意平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 都有\[\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|^2\geqslant (t-2)\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+t\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e_1\right)\left(\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e_2\right),\]则实数 $t$ 的最大值是（ ）
A．$\sqrt 3-1$
B．$1$
C．$\sqrt 5-1$
D．$2$
