每日一题[1335]齐次

已知 $a,b,c>0$,且 $a+b+c=3$,求证:$\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+c}+\dfrac{c}{1+a}\geqslant \dfrac 32$.

解析    只需要证明\[\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+4b+c}\geqslant \dfrac 12,\]根据柯西不等式,有\[LHS\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}(a^2+5ab)}=\dfrac{\sum_{cyc}(a^2+2ab)}{\sum_{cyc}(a^2+5ab)} \geqslant \dfrac 12,\]因此原不等式得证.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论