每日一题[1332]消元

已知实数 $x,y,t$ 满足 $x^2+y^2=1$,$(x-t)^2+y^2=5$,则 $x^2+(y-2t)^2$ 的最小值是______.

答案    $5$.

解析    根据题意,有\[y^2=1-x^2=5-(x-t)^2,\]于是\[t^2y^2=t^2(1-x^2)=-\dfrac 14t^4+3t^2-4,\]从而 \[\begin{split} x^2+(y-2t)^2&=x^2+y^2-4ty+4t^2\\ &\geqslant 1-2\sqrt{-t^4+12t^2-16}+4t^2\\ &=25+4(t^2-6)-2\sqrt{16-(t^2-6)^2}\\ &\geqslant 25-\sqrt{4^2+(-2)^2}\cdot \sqrt{(t^2-6)^2+16-(t^2-6)^2}\\&=5,\end{split}\]等号当 $\left(x,y,t\right)=\left(-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2,\sqrt 2\right)$ 时取得,因此所求的最小值为 $5$.

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