对于函数 $f(x)$ 与实数 $\mathbb{R}$，若存在 $b \in \mathbb{R}$ 使得 $f(x+a)-f(x)=f(x+b)$ 恒成立，则称 $f(x)$ 具有性质 $D(a)$．
1、若 $f(x)=\sin x$ 具有性质 $D(a)$，求 $a$ 的所有可能取值；
2、判断是否存在 $a \in \mathbb{R}$，使得 $f(x)=2^x+3^x$ 具有性质 $D(a)$，并说明理由；
3、证明：不存在定义域为 $\mathbb{R}$ 且同时满足以下性质的函数 $f(x)$：
① 存在唯一 $a \in \mathbb{R}$ 使得 $f(x)$ 具有性质 $D(a)$；
② 对任意 $q>0$ ，均有 $g(x)=f(x) q^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调（不一定严格）．
解析
1、根据题意，有\[f(x+a)-f(x)=\sin(x+a)-\sin x=2\sin\frac a2\cos\left(x+\frac a2\right),\]于是 $f(x)=\sin x$ 具有性质 $D(a)$ 即振幅\[\left|2\sin\dfrac a2\right|=1\iff a=2k\pi\pm\frac{\pi}3,\]其中 $k\in\mathbb Z$．
2、根据题意，有\[f(x+a)-f(x)=f(x+b)\iff \left(2^{x+a}-2^x-2^{x+b}\right)+\left(3^{x+a}-3^x-3^{x+b}\right)=0,\]即\[\left(1.5^{a}-1-1.5^{b}\right)1.5^x+\left(2^a-1-2^b\right)=0,\]该等式恒成立即\[1.5^a-1.5^b=2^a-2^b=1,\]于是 $a>b$，设函数 $h(x)=x^a-x^b$（$x\geqslant 1$），则其导函数\[h'(x)=ax^a-bx^b=ax^b\left(x^{a-b}-\frac ba\right)>0,\]因此不可能有 $h(1.5)=h(2)=1$，所以不存在 $a \in \mathbb{R}$，使得 $f(x)=2^x+3^x$ 具有性质 $D(a)$．
3、由性质 ② 取 $q=1$，可得 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调，进而可得存在 $x_0 \in \mathbb{R}$，使得当 $x>x_0$ 时，$f(x)$ 保号。 再由性质 ②，对于任意正实数 $q$，设 $x$ 是任意实数，$t$ 是任意正实数，则 $g(x)=f(x) q^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调即 $f(x) q^x$ 与 $f(x+t) q^{x+t}$ 有固定的大小关系，也即 $\left(\frac{f(x)}{f(x+t)}\right)^{\frac{1}{t}}$ 与 $q$ 有固定的大小关系，当 $x$ 足够大时，有 $\frac{f(x)}{f(x+t)}>0$，进而 $\left(\frac{f(x)}{f(x+t)}\right)^{\frac{1}{t}}$ 是常数，设为 $\frac{1}{p}(p>0)$，此时有 \[ \left(\frac{f(x)}{f(x+t)}\right)^{\frac{1}{t}}=\frac{1}{p} \Longrightarrow f(x+t)=f(x) \cdot p^t, \] 进而 \[ f(x)=f(x-t) \cdot p^t \] 于是对任意 $t \in \mathbb{R}$，有 \[ f(x+t)=f(x) \cdot p^t \] 因此 \[ f(x+a)-f(x)=f(x+b) \Longleftrightarrow f(x) \cdot p^a-f(x)=f(x) \cdot p^b \Longleftrightarrow f(x) \cdot\left(p^a-p^b-1\right)=0 . \] 若 $f(x)$ 为零函数，则函数 $f(x)$ 有性质 $D(a)$，其中 $a$ 是任意实数，与性质 ① 矛盾； 若 $f(x)$ 不为零函数，则考虑方程 \[ p^a-p^b-1=0 \Longleftrightarrow a=\log _p\left(p^b+1\right), \] 右侧是关于 $b$ 的单调函数，因此该方程有无数组解 $(a, b)$，且这些 $a$ 互不相同，这与性质 ① 矛盾． 综上所述，命题得证．