每日一题[1330]对称换元

解方程组\[\begin{cases} x^3+y^3=5,\\ x^2+y^2=3.\end{cases}\]

解析    设 $x+y=u$,$xy=v$,则\[\begin{cases} u^3-3uv=5,\\ u^2-2v=3,\end{cases}\]于是\[v=\dfrac{u^3-5}{3u}=\dfrac{u^2-3}2,\]从而\[u^3-9u+10=0,\]也即\[(u-2)(u^2+2u-5)=0,\]解得\[(u,v)=\left(2,\dfrac 12\right),\left(-1+\sqrt 6,2-\sqrt 6\right),\left(-1-\sqrt 6,2+\sqrt 6\right),\]于是 $x,y$ 是关于 $t$ 的方程\[t^2-ut+v=0\]的解.

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