每日一题[1336]掩人耳目

等腰三角形 $AOB$ 内接于抛物线 $y^2=2px$($p>0$),$O$ 为抛物线顶点,$OA\perp OB$,$\triangle AOB$ 的面积是 $16$,抛物线的焦点为 $F$,$M$ 为抛物线上的动点,则 $\dfrac{|OM|}{|MF|}$ 的最大值是(       )

A.$\dfrac{\sqrt 3}3$

B.$\dfrac{\sqrt 6}3$

C.$\dfrac{2\sqrt 3}3$

D.$\dfrac{2\sqrt 6}3$

答案    C.

解析    根据所求的量的齐次性,$\dfrac{|OM|}{|MF|}$ 的最大值与 $p$ 的大小无关,不妨设 $p=2$,$M(t^2,2t)$,于是\[\dfrac{|OM|}{|MF|}=\dfrac{\sqrt{t^4+4t^2}}{t^2+1}=\sqrt{\dfrac{t^4+4t^2}{t^4+2t^2+1}},\]设\[\dfrac{t^4+4t^2}{t^4+2t^2+1}=m,\]则\[(1-m)t^4+(4-2m)t^2-m=0,\]判别式\[\Delta=4(4-3m)\geqslant 0,\]从而\[m\leqslant \dfrac 43,\]当 $t^2=\dfrac 12$ 时可以取得等号,因此所求最大值为 $\dfrac{2}{\sqrt 3}$.

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