每日一题[1327]引入参数

已知单位平面向量 $\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2$ 满足 $\overrightarrow e_1\perp \overrightarrow e_2$,若对任意平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 都有\[\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|^2\geqslant (t-2)\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+t\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e_1\right)\left(\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e_2\right),\]则实数 $t$ 的最大值是(       )

A.$\sqrt 3-1$

B.$1$

C.$\sqrt 5-1$

D.$2$

答案    C.

解析    根据题意,有\[\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2\geqslant t\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+t\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e_1\right)\left(\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e_2\right),\]设 $\overrightarrow e_1=(1,0)$,$\overrightarrow e_2=(0,1)$,$\overrightarrow a=(x_1,y_1)$,$\overrightarrow b=(x_2,y_2)$,则题意即\[\forall x_1,y_1,x_2,y_2\in \mathbb R,x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2\geqslant t(x_1x_2+y_1y_2+x_1y_2),\]引入参数,有\[\left(\lambda x_1^2+x_2^2\right)+(1-\lambda)\left(x_1^2+y_2^2\right)+\left(\lambda y_2^2+y_1^2\right)\geqslant 2\sqrt {\lambda }\cdot |x_1x_2|+2(1-\lambda)\cdot |x_1y_2|+2\sqrt{\lambda}\cdot |y_1y_2|,\]令\[2\sqrt {\lambda}=2(1-\lambda),\]解得\[\lambda =\dfrac{3-\sqrt 5}2,\]取使得上述不等式取等号的正数 $x_1,y_1,x_2,y_2$,可得\[t\leqslant 2\left(1-\dfrac{3-\sqrt 5}2\right)=\sqrt 5-1,\]又当 $t=\sqrt 5-1$ 时,有\[x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2\geqslant \left(\sqrt 5-1\right)\cdot \left(|x_1x_2|+|y_1y_2|+|x_1y_2|\right)\geqslant t(x_1x_2+y_1y_2+x_1y_2),\]于是所求最大值为 $\sqrt 5-1$.

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