2026年3月广东省一模数学试卷#17
设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $A\leqslant B$，记 $m=\dfrac{\sin A+\cos A\tan B}{\sin C+\cos C\tan B}$．
1、若 $A,B,C$ 成等差数列，求 $m$ 的最小值；
2、若 $a,b,c$ 成等比数列，求 $m$ 的取值范围．
解析
1、根据题意，有\[m=\dfrac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\sin C\cos B+\cos C\sin B}=\dfrac{\sin(A+B)}{\sin(B+C)}=\dfrac{\sin C}{\sin A},\]若 $A,B,C$ 成等差数列，设 $(A,B,C)=\left(\frac{\pi}3-x,\frac{\pi}3,\frac{\pi}3+x\right)$，其中 $x\in\left[0,\frac{\pi}3\right)$，于是\[m=\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}3+x\right)}{\sin\left(\frac{\pi}3-x\right)}\geqslant 1,\]等号仅当 $x=0$ 时取得，因此 $m$ 的最小值为 $1$．
2、若 $a,b,c$ 成等比数列，设 $(a,b,c)=\left(\frac bk,b,bk\right)$，其中 $k\geqslant 1$，则\[m=\dfrac{\sin C}{\sin A}=\dfrac ca=k^2,\]此时\[\dfrac bk+b>bk\iff k^2-k-1<0\implies 1\leqslant k<\frac{1+\sqrt 5}2,\]因此 $m$ 的取值范围为 $\left[1,\frac{3+\sqrt 5}2\right)$．