每日一题[1334]杀机四伏

已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 满足 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=1$,$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c=1$,$\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a=2$,则 $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|$ 的取值范围是_______.

答案    $\left[\dfrac{5\sqrt 2}2,+\infty\right)$.

解析    设 $\overrightarrow b=(x,0)$,$\overrightarrow a=\left(\dfrac 1x,y\right)$,$\overrightarrow c=\left(\dfrac 1x,z\right)$,则\[\dfrac 1{x^2}+yz=2,\]且\[\begin{split}\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|&=\sqrt{\left(x+\dfrac 2x\right)^2+(y+z)^2}\\ &=\sqrt{\dfrac{1}{2-yz}+4(2-yz)+(y+z)^2+4}\\ &=\sqrt{\dfrac{1}{2-yz}+(y-z)^2+12}\\ &\geqslant\dfrac{5\sqrt 2}2,\end{split}\]而当\[(x,y,z)=\left(\dfrac{1}{\sqrt 2},0,0\right)\]时,$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|=\dfrac{5\sqrt 2}2$,当\[(x,y,z)=\left(x,\sqrt{2-\dfrac{1}{x^2}},\sqrt{2-\dfrac{1}{x^2}}\right),x\to +\infty,\]时,$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|\to +\infty$,于是所求取值范围是 $\left[\dfrac{5\sqrt 2}2,+\infty\right)$.

备注    也可以利用\[\begin{split}\overrightarrow a^2+\overrightarrow b^2+\overrightarrow c^2&=\dfrac{\left(\overrightarrow a^2+4\overrightarrow b^2\right)+\left(\overrightarrow c^2+4\overrightarrow b^2\right)+\left(7\overrightarrow a^2+7\overrightarrow c^2\right)}{8}\\ &\geqslant \dfrac{4\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+4\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c+14\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a}{8}=\dfrac 92,\end{split}\]等号当\[\overrightarrow a=\overrightarrow c=\left(\sqrt 2,0\right),\overrightarrow b=\left(\dfrac{1}{\sqrt 2},0\right)\]时取得,因此所求最小值为\[\sqrt{\dfrac 92+2\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c+\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a\right)}=\dfrac{5\sqrt 2}2.\]

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