Math173

设命题 $p$：关于 $x$ 的不等式 $a_1x^2+b_1x+c_1>0$ 与 $a_2x^2+b_2x+c_2>0$ 的解集相同；命题 $q$：$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$；则命题 $q$ 是命题 $p$ 的（       ）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

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已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是等差数列，其前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，若 ${S_4} = 10$，${S_{13}} = 91$．

1、求 ${S_n}$．

2、若数列 $ \left\{M_{n}\right\} $ 满足条件：${M_1} = {S_{t_1}}$，当 $n \geqslant 2$ 时，${M_n} = {S_{t_n}} - {S_{{t_{n - 1}}}}$，其中数列 $\left\{ {t_n} \right\}$ 单调递增，且 ${t_1} = 1$，${t_n} \in {\mathbb N^ * }$．

① 试找出一组 ${t_2},{t_3}$，使得 $M_2^2 = {M_1} \cdot {M_3}$；

② 证明：对于数列 $\left\{ {a_n} \right\}$，一定存在数列 $\left\{ {t_n} \right\}$，使得数列 $\left\{ {M_n} \right\}$ 中的各数均为一个整数的平方．

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长为 $\sqrt 2$，宽为 $1$ 的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体体积．

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设 $a,b,c$ 均为正实数，求证：$$\dfrac{a\left(a^2+bc\right)}{b+c}+\dfrac{b\left(b^2+ca\right)}{c+a}+\dfrac{c\left(c^2+ab\right)}{a+b}\geqslant ab+bc+ca.$$

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设 $n$ 是正整数，当 $n>100$ 时，$\sqrt{n^2+3n+1}$ 的小数部分的前两位数是_______．

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设 $x,y\in\mathbb R$，且 ${\log_4}(x+2y)+{\log_4}(x-2y)=1$，则 $x-|y|$ 的最小值是（       ）

A．$\sqrt3$

B．$2$

C．$2\sqrt3$

D．$4$

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已知双曲线 $\dfrac {x^2}4-\dfrac {y^2}3=1$，设其实轴端点为 $A_1,A_2$，点 $P$ 是双曲线上不同于 $A_1,A_2$ 的一个动点，直线 $PA_1,PA_2$ 分别与直线 $x=1$ 交于 $M_1,M_2$ 两点．证明：以线段 $M_1M_2$ 为直径的圆必经过定点．

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已知正数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求 $M=\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{\left(\dfrac 5{12}\right)^2+b^2}$ 的最小值．

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对于正整数 $n$，将其各位数字之和记为 $s(n)$，各位数字之积记为 $p(n)$，若成立 $s(n)+p(n)=n$，就称 $n$ 为巧合数，则所有巧合数的和为_______．

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已知 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $C:\dfrac{x^2} {a^2}+\dfrac{y^2} {b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点，点 $P\left(\dfrac {2\sqrt6} 3,1\right)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $\triangle F_1PF_2$ 的垂心为 $H\left(\dfrac {2\sqrt6} 3,-\dfrac 5 3\right)$．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、设 $A$ 为椭圆 $C$ 的左顶点，过点 $F_2$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $D,E$ 两点．记直线 $AD,AE$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，若 $k_1+ k_2=-\dfrac 1 2$，求直线 $l$ 的方程．

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