每日一题[1331]直击要害

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=0$,$a_1=\dfrac 13$,且对任意 $n=1,2,\cdots$,均有 $3a_{n+1}-4a_n+3a_{n-1}=0$,求证:对任意正整数 $n$,均有 $|a_n|<\dfrac 12$.

解析    递推数列对应的特征方程为\[3x^2-4x+3=0,\]于是特征根为\[x=\dfrac{2\pm {\rm i}\sqrt 5}3,\]进而可得\[a_n=\dfrac{{\rm i}\cdot \left[\left(\dfrac{2-{\rm i}\sqrt 5}3\right)^n-\left(\dfrac{2+{\rm i}\sqrt 5}3\right)^n\right]}{2\sqrt 5},n\in\mathbb N,\]因此\[\begin{split} |a_n|&=\dfrac{\left|\left(\dfrac{2-{\rm i}\sqrt 5}3\right)^n-\left(\dfrac{2+{\rm i}\sqrt 5}3\right)^n\right|}{2\sqrt 5}\\ &\leqslant \dfrac{\left|\dfrac{2-{\rm i}\sqrt 5}3\right|^n+\left|\dfrac{2+{\rm i}\sqrt 5}3\right|^n}{2\sqrt 5}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt 5}<\dfrac 12,\end{split}\]因此原不等式得证.

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