每日一题[1329]双生结构

已知 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 是方程组\[\begin{cases} x^2-3xy=2016,\\ y^2-3xy=2017\end{cases}\]的两组解且 $\dfrac{x_1}{y_1}\ne \dfrac{x_2}{y_2}$,则 $\dfrac{(y_1-x_1)(y_2-x_2)}{y_1y_2}$ 的值为______.

答案    $-\dfrac{2}{2017}$.

解析    根据题意,有\[\dfrac{(y_1-x_1)(y_2-x_2)}{y_1y_2}=\left(1-\dfrac{x_1}{y_1}\right)\left(1-\dfrac{x_2}{y_2}\right),\]于是考虑化齐次,有\[\dfrac{x^2-3xy}{y^2-3xy}=\dfrac{2016}{2017},\]即\[\dfrac{t^2-3t}{1-3t}=\dfrac{2016}{2017},\]其中 $t=\dfrac xy$.上述方程即\[2017t^2-3t-2016=0,\]考虑到 $t_1=\dfrac{x_1}{y_1}$,$t_2=\dfrac{x_2}{y_2}$ 是该方程的两根,于是\[2017(t-t_1)(t-t_2)=2017t^2-3t-2016,\]令 $t=1$,可得所求代数式的值为 $-\dfrac{2}{2017}$.

备注    如果没有 $\dfrac{x_1}{y_1}\ne \dfrac{x_2}{y_2}$ 的条件,则可能出现 $(x_1,y_1)=(-x_2,-y_2)$ 的情形,此时对应的 $t_1=t_2$,并不是关于 $t$ 的方程的两根.

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