每日一题[1333]回归定义

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的右焦点为 $F$,过 $F$ 的直线交双曲线于 $A,B$ 两点,点 $C$ 是点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点,若 $CF\perp AB$ 且 $2|AF|=|FB|$,则双曲线的离心率为_______.

答案    $\dfrac{\sqrt{17}}3$.

解析    设左焦点为 $F'$,$AF=x$,则直角 $\triangle F'AB$ 的三边都可以用 $a,x$ 表示,分别为\[AF'=2a+x,AB=3x,F'B=2a+2x,\]于是有\[(2a+x)^2+(3x)^2=(2a+2x)^2,\]解得 $x=\dfrac 2a$.进而可得\[e=\dfrac{\sqrt{AF^2+AF'^2}}{2a}=\dfrac{\sqrt{17}}3.\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论