每日一题[1328]迭代函数

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 43$,$a_{n+1}=a_n^2+\dfrac 2{a_n}-2$($n\in\mathbb N^{\ast}$).

1、求证:$1<a_{n+1}<a_n$.

2、求证:$n+\dfrac 13\leqslant a_1+a_2+\cdots+a_n\leqslant n+2$.

解析

1、不动点方程为\[x=x^2+\dfrac 2x-2,\]解得\[x=1,\pm \sqrt 2,\]如图.

考虑到初值 $a_1=\dfrac 43$,于是数列 $\{a_n\}$ 应该单调递减收敛于 $1$.利用不动点 $x=1$ 改造递推公式,有\[\dfrac{a_{n+1}-1}{a_n-1}=a_n-\dfrac{2}{a_n}+1,\]利用数学归纳法可以证明\[1<a_n<\sqrt 2,\]进而有\[1<a_{n+1}<a_n\leqslant \dfrac 43,\]命题得证.

2、当 $n=1$ 时不等式显然成立.

当 $n\geqslant 2$ 时,不等式即\[0\leqslant \sum_{k=2}^n(a_k-1)\leqslant \dfrac 53,\]根据第 $(1)$ 小题的结果,左边显然成立.而 $a_2=\dfrac{23}{18}$ 且\[\dfrac{a_{n+1}-1}{a_n-1}=a_n-\dfrac 2{a_n}+1\leqslant \dfrac 56,\]于是\[\sum_{k=2}^n(a_k-1)\leqslant \dfrac{a_2-1}{1-\dfrac 56}=\dfrac 53,\]因此原命题得证.

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