Math173

已知抛物线 $y=ax^2$ 过点 $P(-1,1)$，过点 $Q\left(-\dfrac 12,0\right)$ 作斜率大于 $0$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M,N$ 两点（点 $M$ 在 $Q,N$ 之间），过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线，交 $OP$ 于 $A$，交 $ON$ 于 $B$，$\triangle PMA$ 与 $\triangle OAB$ 的面积分别记为 $ S_1 , S_2 $，比较 $ S_1 $ 与 $ 3S_2 $ 的大小，说明理由．

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已知直线 $l:y=kx$ 与圆 $C:x^2+(y-4)^2=4$ 相交于 $M,N$ 两点．

1、求 $k$ 的取值范围．

2、若点 $Q$ 在线段 $MN$ 上，且满足 $\dfrac{2}{|OQ|^2}=\dfrac{1}{|OM|^2}+\dfrac{1}{|ON|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．

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1、已知 $P$ 是矩形 $ABCD$ 所在平面上的一点，则有 $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$．试证明该命题．

2、将上述命题推广到 $P$ 为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明．

3、将矩形 $ABCD$ 进一步推广到长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$，并利用第 $(2)$ 小题得到的命题建立并证明一个新命题．

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设 $a+b=1$，$b>0$，$a\neq0$，则 $\dfrac1{|a|}+\dfrac{2|a|}b$ 的最小值为_______.

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已知实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$，求 $M=a^2bc+ab^2c+abc^2$ 的最大值和最小值．

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如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点 $M(x_0,y_0)$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2} 4+y^2=1$ 上一点，左右焦点分别是 $F_1,F_2$，从原点 $O$ 向圆 $M$：$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$（$0<r<1$）作两条切线分别与椭圆 $C$ 交于点 $P,Q$，直线 $OP,OQ$ 的斜率分别记为 $k_1,k_2$．

1、设直线 $MF_1,MF_2$ 分别与圆交于 $A,B$ 两点，当 $|AF_1|-|BF_2|=2r$ 时，求点 $A$ 的轨迹方程．

2、当 $k_1\cdot k_2$ 为定值时，求 $|OP|\cdot|OQ|$ 的最大值．

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在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AC=3$，$\sin C=k\sin A$（$k\geqslant2$），则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_______．

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设点 $O$ 为三角形 $ABC$ 内一点，且满足关系式：\[\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA},\]则 $\dfrac {S_{\triangle AOB}+2S_{\triangle BOC}+3S_{\triangle COA}} {S_{\triangle ABC}}=$ _______．

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已知棱长为 $\sqrt3$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 $AC_1$ 为轴，则该圆柱体积的最大值为________．

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已知 $\dfrac{\sin\theta} {\sqrt 3\cos\theta+1}>1$，则 $\tan\theta$ 的取值范围是_______．

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